小谈数学对编程的影响

一、起因

本该在家 颓废 快乐度过寒假的我，在月初晚上收到了假期测试的消息，这就是当代大学生临近期末突然发现要考试了吗，我还小，
为什么要这么对我。 ![暴风哭泣]!
言归正传，总归是要做点准备的，临时抱佛脚也总归的有用的

二、发现

在打开算法练习网站的时候找到了有些 不会 有趣的题目，随便挑了点做下。e.g.数独验证，计算距离…有趣的一题是这样的：

背景
化学不及格的Matrix67无奈选择了文科。他必须硬着头皮准备一次又一次的文科考试。
描述
在这一学期一共有n次文科考试，考试科目有4种，分别为政治、历史、地理和综合。每次考哪一科是不定的，因此在考试前Matrix67不知道应该去复习哪一科的功课。他希望能预测出下一次可能考的科目。于是，他收集到了以往的文科考试的资料。从以往的考试中，他发现了这样几个规律：
1.如果这次考的是政治，那么下一次一定会考历史；
2.如果这次考的是综合，那么下一次一定会考地理；
3.如果这次考的是历史，那么下一次要么考政治，要么考地理；
4.如果这次考的是地理，那么下一次要么考历史，要么考综合。
Matrix67已经知道，本学期的第一次考试科目为政治。他打算拟定一个可以应对所有可能情况的应考复习计划。因此，他想知道，整个学期有多少种可能的考试科目安排满足以上规律。
格式
输入格式
一个正整数n，代表本学期总的考试次数。
输入数据保证n<=10000。
输出格式
一个正整数，表示符合规律的科目安排方案的总数。
考虑到这个结果可能会很大，因此你只需要输出它mod 7654321的值即可。

三、思路

1.自己的思路

第一次尝试到底（以前尝试过但是失败了）的迭代算法，有点用到了迷宫的思路：

enum subject{
   politics,sunthesize,history,geography};
int Solve(subject s, int n, int r, int x);

int main()
{
   
    int n;
    scanf("%d", &n);
    subject s = politics;
    int x = Solve(s, n, 1, 0);
    printf("%d", x);
    return 0;
}

int Solve(subject s, int n, int r, int x)//r为排第r门
{
   
    if (r == n)
        x++;
    else
    {
   
        if (s == politics)    x = Solve(history, n, r + 1, x);
        if (s == sunthesize)  x = Solve(geography, n, r + 1, x);
        if (s == history)     x = Solve(politics, n, r + 1, x);
        if (s == history)     x = Solve(geography, n, r + 1, x);
        if (s == geography)   x = Solve(history, n, r + 1, x);
        if (s == geography)   x = Solve(sunthesize, n, r + 1, x);
    }
    return x;
}

但是很遗憾，这个算法的当n=50时（具体数值没试）复杂度就很高了。

2.参考题解

小白总归是小白，后来还是求助了题解：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define D(x) cout<<#x<<" = "<<x<<" "
#define E cout<<endl
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int>pii;
const int maxn = 10000 + 5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 7654321;
int f[maxn][6];
int n, ans = 0;
/* f[i,j]表示处理到第i门，并且第i门考的是j科目的方案数。 j=1 政治 -> 历史 j=2 综合 -> 地理 j=3 历史 -> 政治/地理 j=4 地理 -> 历史/综合 边界：f[1,1]=1,其他为0 目标：f[n,1]+f[n,2]+f[n,3]+f[n,4] */
void dp() {
   
    f[1][1] = 1;
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++) 
    {
   
        f[i + 1][1] = (f[i + 1][1] + f[i][3]) % mod;
        f[i + 1][2] = (f[i + 1][2] + f[i][4]) % mod;
        f[i + 1][3] = (f[i + 1][3] + f[i][1] + f[i][4]) % mod;
        f[i + 1][4] = (f[i + 1][4] + f[i][2] + f[i][3]) % mod;
    }
    for (int j = 1; j <= 4; j++) ans = (ans + f[n][j]) % mod;
}
int main() {
   
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    dp();
    cout << ans;
    return 0;
}

思路似乎差不多（不都是暴力求解吗？？？），但用数组确实运算快了很多。

四.数学影响

说了这么多，似乎一点点和数学的关系都没有提到，不要着急，一点点虚化才会有恍然大悟的感觉，直接上来用数学讲，不就会有那种惊喜感了（嘚瑟下）
看到题目的第一眼 ，第二眼，第九眼，有种直觉告诉我这个答案会和n有函数关系，但是一开始对快速正解的追求并没有让我深入想下去。而整个题目完成后，重新回到问题本身，我依旧坚持相信会有一个函数可以得到它。

so，thinking…

不妨记P（n，s）表示第n门考的学科为s 那么由已知我们有这样的式子： ①P(n+1,his) =P(n,pol)+P(n,geo)
②P(n+1,geo)=P(n,sun)+P(n,his) ③P(n+1,pol) =P(n,his)
④P(n+1,sun)=P(n,geo) 又记考n门时可能情况数为F(n)
F(n)=∑P(n,si)······i=0,1,2,3 ①+②+③+④得
F(n+1)=F(n)+P(n,geo)+P(n,his) 令P(n,geo)+P(n,his)=GH(n)
F(n+1)=F(n)+GH(n) ①+②得 GH(n+1)=F(n) 也就是 F(n+1)=F(n)+F(n-1)
！！！！！！！
是不是很熟悉，这不就是斐波拉契数列吗？
本来不是考试问题怎么就斐波拉契数列了呢？
数学就是这么神奇。
下面是改进的算法：

int main()
{
   
    int n;
    int a[10000];
    a[0] = 1, a[1] = 1;
    for (int i = 2; i < 10000; i++)
        a[i] =( a[i - 1] + a[i - 2])%7654321;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d", a[n-1]);
    return 0;
}

嗯~~简单了很多（一开始还是用函数迭代了，那个有复杂了，就改一维数组了）

五.结语

用数学寻找问题核心的想法从一本小说中来——《学霸的黑科技系统》讲述了用数学方法改变世界的故事，重点不是情节吸引人，是有些数学问题有趣我才看下来的！！一定是这样。
或许这个例子没有特别的明显，本小白的能力暂时也没办法构建更高级的模型解决更高级的问题，但我相信总有人get到了我想表达的东西，哪怕没有，我完成了第一篇博客，那也可以满足了

作：VaQX