前言

在边缘检测中，常用的一种算子是Sobel算子。Sobel算子一共有2个，一个检测水平边缘的算子和一个检测垂直边缘的算子。Sobel算子的优点是可以利用快速卷积函数，简单有效，且对像素位置的影响做了加权，可以降低边缘模糊程度，有较好效果。然而Sobel算子并没有基于图像灰度进行处理，所以在提起图像边缘信息的时候可能不会让人的视觉满意。

算法原理

首先来看一下如歌构造Sobel算子？Sobel算子是在一个坐标轴的方向进行非归一化的高斯平滑，在另外一个坐标轴方向做一个差分，kszie*ksize的算子是由平滑算子和差分算子全卷积得到，其中ksize必须为奇数。对于窗口大小为ksize的非归一化Sobel平滑算子等于ksize-1阶的二项式展开式的系数，而Sobel平滑算子等于ksize-2阶的二项式展开式的系数两侧补0，然后向前差分。举个例子：构造一个4阶的Sobel非均一化的Sobel算子和Sobel差分算子：

• 取二项式系数为n=3，然后计算展开式系数为， $[C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3]$[C30​,C31​,C32​,C33​]即是[1, 3, 3, 3]，这就是4阶的非均一化的Sobel平滑算子。
• 取二项式系数n=4-2=2，然后计算展开式的系数，即为： $[C_2^0,C_2^1,C_2^2]$[C20​,C21​,C22​]，两侧补0并且前向差分得到[1, 1, -1, -1]，第5项差分后可以直接删除。
• 将4阶的Sobel平滑算子和Sobel差分算子进行全卷积，即可得到4*4的Sobel算子。
  $sobl{e}_x=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 3\\ 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\\ 3& 3& -3& -3\\ 3& 3& -3& -3\\ 1& 1& -1& -1\end{array}\right]$soblex​=⎣⎢⎢⎡​1331​⎦⎥⎥⎤​∗[1​1​−1​−1​]=⎣⎢⎢⎡​1331​1331​−1−3−3−1​−1−3−3−1​⎦⎥⎥⎤​
  $sobe{l}_y=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 3& 1\\ 1& 3& 3& 1\\ -1& -3& -3& -1\\ -1& -3& -3& -1\end{array}\right]$sobely​=[1​3​3​1​]∗⎣⎢⎢⎡​11−1−1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​11−1−1​33−3−3​33−3−3​11−1−1​⎦⎥⎥⎤​

代码实现

#include "opencv2/opencv.hpp"
#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "vector"
#include "stdio.h"
using namespace std;
using namespace cv;

const int fac[9]={1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};
//Sobel平滑算子
Mat getSmmoothKernel(int ksize){
    Mat Smooth = Mat::zeros(Size(ksize, 1), CV_32FC1);
    for(int i = 0; i < ksize; i++){
        Smooth.at<float>(0, i) = float(fac[ksize-1]/(fac[i] * fac[ksize-1-i]));
    }
    return Smooth;
}
//Sobel差分算子
Mat getDiffKernel(int ksize){
    Mat Diff = Mat::zeros(Size(ksize, 1), CV_32FC1);
    Mat preDiff = getSmmoothKernel(ksize-1);
    for(int i = 0; i < ksize; i++){
        if(i == 0){
            Diff.at<float>(0, i) = 1;
        }else if(i == ksize-1){
            Diff.at<float>(0, i) = -1;
        }else{
            Diff.at<float>(0, i) = preDiff.at<float>(0, i) - preDiff.at<float>(0, i-1);
        }
    }
    return Diff;
}
//调用filter2D实现卷积
void conv2D(InputArray src, InputArray kernel, OutputArray dst, int dep, Point anchor=Point(-1,-1), int borderType=BORDER_DEFAULT){
    Mat kernelFlip;
    flip(kernel, kernelFlip, -1);
    filter2D(src, dst, dep, kernelFlip, anchor, 0.0, borderType);
}
//先进行垂直方向的卷积，再进行水平方向的卷积
void sepConv2D_Y_X(InputArray src, OutputArray dst, int dep, InputArray kernelY, InputArray kernelX, Point anchor=Point(-1,-1), int borderType=BORDER_DEFAULT){
    Mat Y;
    conv2D(src, kernelY, Y, dep, anchor, borderType);
    conv2D(Y, kernelX, dst, dep, anchor, borderType);
}
//先进行水平方向的卷积，再进行垂直方向的卷积
void sepConv2D_X_Y(InputArray src, OutputArray dst, int dep, InputArray kernelX, InputArray kernelY, Point anchor=Point(-1,-1), int borderType=BORDER_DEFAULT){
    Mat X;
    conv2D(src, kernelX, X, dep, anchor, borderType);
    conv2D(X, kernelY, dst, dep, anchor, borderType);
}
//Sobel算子提取边缘信息
Mat Sobel(Mat &src, int x_flag, int y_flag, int kSize, int borderType){
    Mat Smooth = getSmmoothKernel(kSize);
    Mat Diff = getDiffKernel(kSize);
    Mat dst;
    if(x_flag){
        sepConv2D_Y_X(src, dst, CV_32FC1, Smooth.t(), Diff, Point(-1, -1), borderType);
    }else if(x_flag == 0 && y_flag){
        sepConv2D_X_Y(src, dst, CV_32FC1, Smooth, Diff.t(), Point(-1, -1), borderType);
    }
    return dst;
}
int main(){
    Mat src = imread("../lena.jpg");
    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, CV_BGR2GRAY);
    Mat dst1 = Sobel(gray, 1, 0, 3, BORDER_DEFAULT);
    Mat dst2 = Sobel(gray, 0, 1, 3, BORDER_DEFAULT);
    //转8位灰度图显示
    convertScaleAbs(dst1, dst1);
    convertScaleAbs(dst2, dst2);
    imshow("origin", gray);
    imshow("result-X", dst1);
    imshow("result-Y", dst2);
    imwrite("../result.jpg", dst1);
    imwrite("../result2.jpg", dst2);
    waitKey(0);
    return 0;
}

效果

原图
沿着X方向做Sobel算子
沿着Y方向做边缘检测