BatchNorm论文

https://arxiv.org/abs/1502.03167

BatchNorm原理

这是论文中给出的对BatchNorm的算法流程解释，这篇博客的目的主要是推导和实现BatchNorm的前向传播和反向传播，就不关注具体的原理了，我们暂时知道BN层是用来调整数据分布，降低过拟合的就够了。

前向传播

前向传播实际就是将上面图片的4个公式转化为编程语言，这里我们先贴一段CS231N官方提供的代码：

def batchnorm_forward(x, gamma, beta, bn_param):
  """
  Input:
  - x: (N, D)维输入数据
  - gamma: (D,)维尺度变化参数 
  - beta: (D,)维尺度变化参数
  - bn_param: Dictionary with the following keys:
    - mode: 'train' 或者 'test'
    - eps: 一般取1e-8~1e-4
    - momentum: 计算均值、方差的更新参数
    - running_mean: (D,)动态变化array存储训练集的均值
    - running_var：(D,)动态变化array存储训练集的方差

  Returns a tuple of:
  - out: 输出y_i（N，D）维
  - cache: 存储反向传播所需数据
  """
  mode = bn_param['mode']
  eps = bn_param.get('eps', 1e-5)
  momentum = bn_param.get('momentum', 0.9)

  N, D = x.shape
  # 动态变量，存储训练集的均值方差
  running_mean = bn_param.get('running_mean', np.zeros(D, dtype=x.dtype))
  running_var = bn_param.get('running_var', np.zeros(D, dtype=x.dtype))

  out, cache = None, None
  # TRAIN 对每个batch操作
  if mode == 'train':
    sample_mean = np.mean(x, axis = 0)
    sample_var = np.var(x, axis = 0)
    x_hat = (x - sample_mean) / np.sqrt(sample_var + eps)
    out = gamma * x_hat + beta
    cache = (x, gamma, beta, x_hat, sample_mean, sample_var, eps)
    running_mean = momentum * running_mean + (1 - momentum) * sample_mean
    running_var = momentum * running_var + (1 - momentum) * sample_var
  # TEST：要用整个训练集的均值、方差
  elif mode == 'test':
    x_hat = (x - running_mean) / np.sqrt(running_var + eps)
    out = gamma * x_hat + beta
  else:
    raise ValueError('Invalid forward batchnorm mode "%s"' % mode)

  bn_param['running_mean'] = running_mean
  bn_param['running_var'] = running_var

  return out, cache

这里倒是没啥好说的，不过了为了和下面反向传播对比理解，这里我们明确每一个张量的维度：

x shape为(N,D)，可以将N看成batch size,D看成特征图展开为1列的元素个数
gamma shape为(D,)
beta shape为(D,)
running_mean shape为(D,)
running_var shape为(D,)

反向传播

这才是我们的重点，我写过softmax和线性回归的求导，也前后弄清楚了卷积的im2col和卷积的求导，但是BN层的求导一直没弄清楚，现在我们一定要弄清楚，现在做一些约定：

$δ$ 为一个Batch所有样本的方差
$μ$ 为样本均值
$<mover accent="true"> x^</mover>$ 为归一化后的样本数据
$y_{i}$ 为输入样本 $x_{i}$ 经过尺度变化的输出量
$γ$ 和 $β$ 为尺度变化系数
$\frac{\partial L}{\partial y}$ 是上一层的梯度，并假设 $x$ 和 $y$ 都是(N,D)维，即有N个维度为D的样本
在BN层的前向传播中 $x_{i}$ 通过 $γ$ , $β$ , $<mover accent="true"> x^</mover>$ 将 $x_{i}$ 变换为 $y_{i}$ ，那么反向传播则是根据 $\frac{\partial L}{\partial y_{i}}$ 求得 $\frac{\partial L}{\partial γ}$ , $\frac{\partial L}{\partial β}$ , $\frac{\partial L}{\partial x_{i}}$ .
求解 $\frac{\partial L}{\partial γ}$
$\frac{\partial L}{\partial γ} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial y_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial γ} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial y_{i}} <mover accent="true"> x^</mover>$
求解 $\frac{\partial L}{\partial β}$
$\frac{\partial L}{\partial β} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial y_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial β} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial y_{i}}$
求解 $\frac{\partial L}{\partial x_{i}}$
根据论文的公式和链式法则可得下面的等式:
$\frac{\partial L}{\partial x_{i}} = \frac{\partial L}{\partial <mover accent="true"> x_{i}^</mover>} \frac{\partial <mover accent="true"> x_{i}^</mover>}{\partial x_{i}} + \frac{\partial L}{\partial σ} \frac{\partial σ}{\partial x_{i}} + \frac{\partial L}{\partial μ} \frac{\partial μ}{\partial x_{i}}$
我们这里又可以先求 $\frac{\partial L}{\partial <mover accent="true"> x^</mover>}$
$\frac{\partial L}{\partial <mover accent="true"> x^</mover>} = \frac{\partial L}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial <mover accent="true"> x^</mover>} = \frac{\partial L}{\partial y} γ$ (1)
$\frac{\partial L}{\partial σ} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial y_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial {<mover accent="true">}_{x^</mover> i}} \frac{\partial {<mover accent="true">}_{x^</mover> i}}{\partial σ} = - \frac{1}{2} \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial <mover accent="true"> x_{i}^</mover>} (x_{i} - μ) (σ + ε)^{- 1.5}$ (2)
$\frac{\partial L}{\partial μ} = \frac{\partial L}{\partial <mover accent="true"> x^</mover>} \frac{\partial <mover accent="true"> x^</mover>}{\partial μ} + \frac{\partial L}{\partial σ} \frac{\partial σ}{\partial μ} = \sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {<mover accent="true">}_{x^</mover> i}} \frac{- 1}{\sqrt{σ + ε}} + \frac{\partial L}{\partial σ} \frac{- 2 Σ_{i} (x_{i} - μ)}{N}$ (3)
有了(1),(2),(3)就可以求出 $\frac{\partial L}{\partial x_{i}}$
$\frac{\partial L}{\partial x_{i}} = \frac{\partial L}{\partial <mover accent="true"> x_{i}^</mover>} \frac{\partial <mover accent="true"> x_{i}^</mover>}{\partial x_{i}} + \frac{\partial L}{\partial σ} \frac{\partial σ}{\partial x_{i}} + \frac{\partial L}{\partial μ} \frac{\partial μ}{\partial x_{i}} = \frac{\partial L}{\partial {<mover accent="true">}_{x^</mover> i}} \frac{1}{\sqrt{σ + ε}} + \frac{\partial L}{\partial σ} \frac{2 (x_{i} - μ)}{N} + \frac{\partial L}{\partial μ} \frac{1}{N}$
到这里就推到出了BN层的反向传播公式了，和论文中一样，截取一下论文中的结果图：
贴一份CS231N代码：

def batchnorm_backward(dout, cache):
  """
  Inputs:
  - dout: 上一层的梯度，维度(N, D)，即 dL/dy
  - cache: 所需的中间变量，来自于前向传播

  Returns a tuple of:
  - dx: (N, D)维的 dL/dx
  - dgamma: (D,)维的dL/dgamma
  - dbeta: (D,)维的dL/dbeta
  """
    x, gamma, beta, x_hat, sample_mean, sample_var, eps = cache
  N = x.shape[0]

  dgamma = np.sum(dout * x_hat, axis = 0)
  dbeta = np.sum(dout, axis = 0)

  dx_hat = dout * gamma
  dsigma = -0.5 * np.sum(dx_hat * (x - sample_mean), axis=0) * np.power(sample_var + eps, -1.5)
  dmu = -np.sum(dx_hat / np.sqrt(sample_var + eps), axis=0) - 2 * dsigma*np.sum(x-sample_mean, axis=0)/ N
  dx = dx_hat /np.sqrt(sample_var + eps) + 2.0 * dsigma * (x - sample_mean) / N + dmu / N

  return dx, dgamma, dbeta

DarkNet中的BN层

darknet中在src/blas.h中实现了前向传播的几个公式：

/*
** 计算输入数据x的平均值，输出的mean是一个矢量，比如如果x是多张三通道的图片，那么mean的维度就为通道3
** 由于每次训练输入的都是一个batch的图片，因此最终会输出batch张三通道的图片，mean中的第一个元素就是第
** 一个通道上全部batch张输出特征图所有元素的平均值，本函数的用处之一就是batch normalization的第一步了
** x: 包含所有数据，比如l.output，其包含的元素个数为l.batch*l.outputs
** batch: 一个batch中包含的图片张数，即l.batch
** filters: 该层神经网络的滤波器个数，也即该层网络输出图片的通道数（比如对卷积网络来说，就是核的个数了）
** spatial: 该层神经网络每张输出特征图的尺寸，也即等于l.out_w*l.out_h
** mean: 求得的平均值，维度为filters，也即每个滤波器对应有一个均值（每个滤波器会处理所有图片）
** x的内存排布？此处还是结合batchnorm_layer.c中的forward_batch_norm_layer()函数的调用来解释，其中x为l.output，其包含的元素个数为l
** 有l.batch行，每行有l.out_c*l.out_w*l.out_h个元素，每一行又可以分成l.out_c行，l.out_w*l.out_h列，
** 那么l.mean中的每一个元素，是某一个通道上所有batch的输出的平均值
** （比如卷积层，有3个核，那么输出通道有3个，每张输入图片都会输出3张特征图，可以理解每张输出图片是3通道的，
** 若每次输入batch=64张图片，那么将会输出64张3通道的图片，而mean中的每个元素就是某个通道上所有64张图片
** 所有元素的平均值，比如第1个通道上，所有64张图片像素平均值）
*/
void mean_cpu(float *x, int batch, int filters, int spatial, float *mean)
{
    // scale即是均值中的分母项
    float scale = 1./(batch * spatial);
    int i,j,k;
    // 外循环次数为filters，也即mean的维度，每次循环将得到一个平均值
    for(i = 0; i < filters; ++i){
        mean[i] = 0;
        // 中间循环次数为batch，也即叠加每张输入图片对应的某一通道上的输出
        for(j = 0; j < batch; ++j){
            // 内层循环即叠加一张输出特征图的所有像素值
            for(k = 0; k < spatial; ++k){
                // 计算偏移
                int index = j*filters*spatial + i*spatial + k;
                mean[i] += x[index];
            }
        }
        mean[i] *= scale;
    }
}

/*
** 计算输入x中每个元素的方差
** 本函数的主要用处应该就是batch normalization的第二步了
** x: 包含所有数据，比如l.output，其包含的元素个数为l.batch*l.outputs
** batch: 一个batch中包含的图片张数，即l.batch
** filters: 该层神经网络的滤波器个数，也即是该网络层输出图片的通道数
** spatial: 该层神经网络每张特征图的尺寸，也即等于l.out_w*l.out_h
** mean: 求得的平均值，维度为filters，也即每个滤波器对应有一个均值（每个滤波器会处理所有图片）
*/
void variance_cpu(float *x, float *mean, int batch, int filters, int spatial, float *variance)
{
    // 这里计算方差分母要减去1的原因是无偏估计，可以看：https://www.zhihu.com/question/20983193
    // 事实上，在统计学中，往往采用的方差计算公式都会让分母减1,这时因为所有数据的方差是基于均值这个固定点来计算的，
    // 对于有n个数据的样本，在均值固定的情况下，其采样自由度为n-1（只要n-1个数据固定，第n个可以由均值推出）
    float scale = 1./(batch * spatial - 1);
    int i,j,k;
    for(i = 0; i < filters; ++i){
        variance[i] = 0;
        for(j = 0; j < batch; ++j){
            for(k = 0; k < spatial; ++k){
                int index = j*filters*spatial + i*spatial + k;
                // 每个元素减去均值求平方
                variance[i] += pow((x[index] - mean[i]), 2);
            }
        }
        variance[i] *= scale;
    }
}
void normalize_cpu(float *x, float *mean, float *variance, int batch, int filters, int spatial)
{
    int b, f, i;
    for(b = 0; b < batch; ++b){
        for(f = 0; f < filters; ++f){
            for(i = 0; i < spatial; ++i){
                int index = b*filters*spatial + f*spatial + i;
                x[index] = (x[index] - mean[f])/(sqrt(variance[f]) + .000001f);
            }
        }
    }
}
/*
** axpy 是线性代数中的一种基本操作(仿射变换)完成y= alpha*x + y操作，其中x,y为矢量，alpha为实数系数，
** 请看: https://www.jianshu.com/p/e3f386771c51
** N: X中包含的有效元素个数
** ALPHA: 系数alpha
** X: 参与运算的矢量X
** INCX: 步长(倍数步长)，即x中凡是INCX倍数编号的参与运算
** Y: 参与运算的矢量，也相当于是输出
*/
void axpy_cpu(int N, float ALPHA, float *X, int INCX, float *Y, int INCY)
{
    int i;
    for(i = 0; i < N; ++i) Y[i*INCY] += ALPHA*X[i*INCX];
}

void scal_cpu(int N, float ALPHA, float *X, int INCX)
{
    int i;
    for(i = 0; i < N; ++i) X[i*INCX] *= ALPHA;
}

在src/batchnorm_layer.c中实现了前向传播和反向传播的接口函数：

// BN层的前向传播函数
void forward_batchnorm_layer(layer l, network net)
{
    if(l.type == BATCHNORM) copy_cpu(l.outputs*l.batch, net.input, 1, l.output, 1);
    copy_cpu(l.outputs*l.batch, l.output, 1, l.x, 1);
    // 训练阶段
    if(net.train){
        // blas.c中有详细注释，计算输入数据的均值，保存为l.mean
        mean_cpu(l.output, l.batch, l.out_c, l.out_h*l.out_w, l.mean);
        // blas.c中有详细注释，计算输入数据的方差，保存为l.variance
        variance_cpu(l.output, l.mean, l.batch, l.out_c, l.out_h*l.out_w, l.variance);
        
        // 计算滑动平均和方差，影子变量，可以参考https://blog.csdn.net/just_sort/article/details/100039418
        scal_cpu(l.out_c, .99, l.rolling_mean, 1);
        axpy_cpu(l.out_c, .01, l.mean, 1, l.rolling_mean, 1);
        scal_cpu(l.out_c, .99, l.rolling_variance, 1);
        axpy_cpu(l.out_c, .01, l.variance, 1, l.rolling_variance, 1);
        // 减去均值，除以方差得到x^，论文中的第3个公式
        normalize_cpu(l.output, l.mean, l.variance, l.batch, l.out_c, l.out_h*l.out_w);  
        // BN层的输出
        copy_cpu(l.outputs*l.batch, l.output, 1, l.x_norm, 1);
    } else {
        // 测试阶段，直接用滑动变量来计算输出
        normalize_cpu(l.output, l.rolling_mean, l.rolling_variance, l.batch, l.out_c, l.out_h*l.out_w);
    }
    // 最后一个公式，对输出进行移位和偏置
    scale_bias(l.output, l.scales, l.batch, l.out_c, l.out_h*l.out_w);
    add_bias(l.output, l.biases, l.batch, l.out_c, l.out_h*l.out_w);
}

// BN层的反向传播函数
void backward_batchnorm_layer(layer l, network net)
{
    // 如果在测试阶段，均值和方差都可以直接用滑动变量来赋值
    if(!net.train){
        l.mean = l.rolling_mean;
        l.variance = l.rolling_variance;
    }
    // 在卷积层中定义了backward_bias，并有详细注释
    backward_bias(l.bias_updates, l.delta, l.batch, l.out_c, l.out_w*l.out_h);
    // 这里是对论文中最后一个公式的缩放系数求梯度更新值
    backward_scale_cpu(l.x_norm, l.delta, l.batch, l.out_c, l.out_w*l.out_h, l.scale_updates);
    // 也是在convlution_layer.c中定义的函数，先将敏感度图乘以l.scales
    scale_bias(l.delta, l.scales, l.batch, l.out_c, l.out_h*l.out_w);
    
    // 对应了https://blog.csdn.net/just_sort/article/details/100039418 中对均值求导数
    mean_delta_cpu(l.delta, l.variance, l.batch, l.out_c, l.out_w*l.out_h, l.mean_delta);
    // 对应了https://blog.csdn.net/just_sort/article/details/100039418 中对方差求导数
    variance_delta_cpu(l.x, l.delta, l.mean, l.variance, l.batch, l.out_c, l.out_w*l.out_h, l.variance_delta);
    // 计算敏感度图，对应了论文中的最后一部分
    normalize_delta_cpu(l.x, l.mean, l.variance, l.mean_delta, l.variance_delta, l.batch, l.out_c, l.out_w*l.out_h, l.delta);
    if(l.type == BATCHNORM) copy_cpu(l.outputs*l.batch, l.delta, 1, net.delta, 1);
}

其中反向传播的函数如下，就是利用我们推导出的公式来计算：

// 这里是对论文中最后一个公式的缩放系数求梯度更新值
// x_norm 代表BN层前向传播的输出值
// delta 代表上一层的梯度图
// batch 为l.batch，即一个batch的图片数
// n代表输出通道数，也即是输入通道数
// size 代表w * h
// scale_updates 代表scale的梯度更新值
// y = gamma * x + beta
// dy / d(gamma) = x
void backward_scale_cpu(float *x_norm, float *delta, int batch, int n, int size, float *scale_updates)
{
    int i,b,f;
    for(f = 0; f < n; ++f){
        float sum = 0;
        for(b = 0; b < batch; ++b){
            for(i = 0; i < size; ++i){
                int index = i + size*(f + n*b);
                sum += delta[index] * x_norm[index];
            }
        }
        scale_updates[f] += sum;
    }
}

// 对均值求导
// 对应了论文中的求导公式3，不过Darknet特殊的点在于是先计算均值的梯度
// 这个时候方差是没有梯度的，所以公式3的后半部分为0，也就只保留了公式3的前半部分
// 不过我从理论上无法解释这种操作会带来什么影响，但从目标检测来看应该是没有影响的
void mean_delta_cpu(float *delta, float *variance, int batch, int filters, int spatial, float *mean_delta)
{

    int i,j,k;
    for(i = 0; i < filters; ++i){
        mean_delta[i] = 0;
        for (j = 0; j < batch; ++j) {
            for (k = 0; k < spatial; ++k) {
                int index = j*filters*spatial + i*spatial + k;
                mean_delta[i] += delta[index];
            }
        }
        mean_delta[i] *= (-1./sqrt(variance[i] + .00001f));
    }
}
// 对方差求导
// 对应了论文中的求导公式2
void  variance_delta_cpu(float *x, float *delta, float *mean, float *variance, int batch, int filters, int spatial, float *variance_delta)
{
    int i,j,k;
    for(i = 0; i < filters; ++i){
        variance_delta[i] = 0;
        for(j = 0; j < batch; ++j){
            for(k = 0; k < spatial; ++k){
                int index = j*filters*spatial + i*spatial + k;
                variance_delta[i] += delta[index]*(x[index] - mean[i]);
            } 
        }
        variance_delta[i] *= -.5 * pow(variance[i] + .00001f, (float)(-3./2.));
    }
}
// 求出BN层的梯度敏感度图
// 对应了论文中的求导公式4，即是对x_i求导
void normalize_delta_cpu(float *x, float *mean, float *variance, float *mean_delta, float *variance_delta, int batch, int filters, int spatial, float *delta)
{
    int f, j, k;
    for(j = 0; j < batch; ++j){
        for(f = 0; f < filters; ++f){
            for(k = 0; k < spatial; ++k){
                int index = j*filters*spatial + f*spatial + k;
                delta[index] = delta[index] * 1./(sqrt(variance[f] + .00001f)) + variance_delta[f] * 2. * (x[index] - mean[f]) / (spatial * batch) + mean_delta[f]/(spatial*batch);
            }
        }
    }
}

参考资料