【解题报告】2021牛客寒假算法基础集训营4
前面的话
- 比赛连接:2021牛客寒假算法基础集训营4
- 有些题目是自己思考做出来的,有些是看他人的思路自己做的,也有的是参考别人的代码然后写的。
我决定这里以及以后都会写出来,标记在思路右边。
不同解法的时间复杂度也不同,会标记在代码内。
如果是简单题或者复杂度(做出来的或者没做出来的),我可能都会带一些补充,放在每题的后面。
A :九峰与签到题 | 模拟 (签到题)
- 【题意】
求出任何时刻,通过率都 的题目。 - 【细节】
判断通过率 不建议这么写:
而是建议这么写:
B: 武辰延的字符串 | exKMP
【题意】
给你两个字符串
设 表示字符串 的长度为 的前缀。
设 表示 和 的直接拼接。
问你有多少对不同的 ,满足【范围】
【思路】赛内
首先如果能满足要求,一定要
接下来就是对于每一个位置 , 与 的最长公共前缀是多少。
暴力计算肯定会超时的,不过我们有 ,可以快速计算。【代码】
时间复杂度:/* 求解 T 中 next[],注释参考 GetExtend() */ void GetNext(string & T, int & m, int next[]) { int a = 0, p = 0; next[0] = m; for (int i = 1; i < m; i++){ if (i >= p || i + next[i - a] >= p){ if (i >= p) p = i; while (p < m && T[p] == T[p - i]) p++; next[i] = p - i; a = i; } else next[i] = next[i - a]; } } /* 求解 extend[] */ void GetExtend(string & S, int & n, string & T, int & m, int extend[], int next[]) { int a = 0, p = 0; GetNext(T, m, next); for (int i = 0; i < n; i++){ if (i >= p || i + next[i - a] >= p){ if (i >= p) p = i; while (p < n && p - i < m && S[p] == T[p - i]) p++; extend[i] = p - i; a = i; } else extend[i] = next[i - a]; } } int nxt[100050]; int extend[100050]; int main() { string S, T; int n, m; cin >> T >> S; n = S.size(); m = T.size(); GetExtend(S, n, T, m, extend, nxt); long long res = 0; for (int i = 0; i < n; i++){ if(S[i] == T[i])res += (long long)extend[i+1]; else break; } cout << res; return 0; }
【补充】
其实这题推荐解应该是二分查找+字符串哈希,不过 应该是时间最优解了。
不过后面有字符串哈希的题...
D :温澈滢的狗狗 | 二分
- 【题意】
从左到右有 个点,每个点有颜色
如果 ,那么点对 之间有亲密度
我们把所有有亲密度的点对取出来,优先级按照 **亲密度从高到低, 从高到低, 从高到低** 排序。
问你亲密度排序后第 对点对是哪两个点,或者告诉她不存在亲密度第 的点对。 - 【范围】
- 【思路:第一步】参考题解
因为亲密度排序的最高优先级是亲密度大小,容易想到我们可能可以二分 找出亲密度 的异色点对个数,然后确定最终第 对点对的亲密度的值是多少。
假设我们知道了最终亲密度为 ,且亲密度 的点对数量 ,我们只要 ,从左到右扫一遍距离为 的点对,如果颜色不同那么 自增 ,直到 即可。
那么我们想知道怎么去**二分找亲密度 的异色点对的个数**。 - 【思路:第二步】
首先,直接求很难求,我们根据容斥得到:**异色点对的个数 所有点对个数 同色点对个数**。
有 个数,距离 的所有点对个数是多少呢?假设距离为 ,我们得到这个式子:有 个数,距离 的同色个数是多少呢?
我们肯定枚举每一种颜色 ,然后用 滑动窗口 去计算 距离 的点对个数。
我们会事先把颜色为 的点按照下标升序丢到 中预处理。
假设窗口左端、右端下标分别为 ,我们新加进来下标为 的同色点。
如果新的窗口长度 ,那么新的点产生的点对个数为 。
如果新的窗口长度 ,那么我们把窗口向右移动,直到距离合法,返回上一步。 - 【代码】
时间复杂度:const int MAX = 2e5+50; int n; ll k; vector<int>V[MAX]; ll solve(int x,int d){ int st = 0; ll res = 0; for(int ed = 1;ed < V[x].size();++st){ while(ed < V[x].size() && V[x][ed] - V[x][st] <= d){ res += ed - st; ed++; } } return res; } bool check(ll d){ ll sum = (ll)n * d - (1+d)*d/2; for(int i = 1;i <= n;++i){ if(V[i].size() >= 2)sum -= solve(i,d); } return sum >= k; } int aa[MAX]; int main() { scanf("%d%lld",&n,&k); for(int i = 1;i <= n;++i){ int t;scanf("%d",&t); aa[i] = t; V[t].push_back(i); } ll L = 1,R = n - 1; while(L < R){ ll M = (L + R) >> 1; if(check(M))R = M; else L = M + 1; } ll tmp = (L-1) * n - (1+L-1)*(L-1)/2; for(int i = 1;i <= n;++i){ if(V[i].size() >= 2)tmp -= solve(i,L-1); } for(int i = 1;i + L<= n;++i){ if(aa[i] != aa[i+L])tmp++; if(tmp == k){ printf("%d %d",i,i+L); return 0; } } printf("-1"); return 0; }
E: 九峰与子序列 | + 字符串哈希
【题意】
有一个目标字符串
有 个字符串序列,分别为
问你有多少种方案,选出一些子序列使其拼接起来形成 串【范围】
【思路】赛内一些 + 参考题解
首先要读懂题意,是求子序列,即 和 是相同的一种。
把一些字符串拼成目标串?很有 的感觉了。
我们设 表示**前 个字符串序列拼成目标串到第 位的方案数**
容易得到状态转移方程:但是关键是这个比较 特别花时间。那就用字符串哈希 ,然后比较哈希值吧。
然后注意到,空间复杂度 是不大允许的,像背包算法一样,我们可以逆序滚动,把第一个维度给省略掉。【代码】
时间复杂度:
空间复杂度:const int MAX = 5e6+50; const ll pri = 233; char aim[MAX]; char aa[MAX]; unsigned long long hsh[MAX]; unsigned long long shs[MAX]; unsigned long long base[MAX]; ll dp[MAX]; int main() { int n,k;scanf("%d%s",&n,aim+1); k = strlen(aim+1); base[0] = 1; for(int i = 1;i <= k;++i){ hsh[i] = hsh[i-1] * pri + aim[i]; base[i] = base[i-1] * pri; } dp[0] = 1; for(int i = 1;i <= n;++i){ scanf("%s",aa+1); int ed = strlen(aa+1); shs[0] = 0; for(int j = 1;j <= ed;++j){ shs[j] = shs[j-1] * pri + aa[j]; } for(int j = k - ed + 1;j >= 1;--j){ ll hash1 = hsh[j+ed-1] - hsh[j-1] * base[ed]; if(hash1 == shs[ed]){ dp[j+ed-1] += dp[j-1]; } } } printf("%lld",dp[k]); return 0; }
【补充】
特地去复习(预习)了一下字符串哈希,用双哈希直接 ,用单哈希还是
结果只能用 自然溢出了...
本题也可以用折半搜索去做,不过会比较麻烦。
F: 魏迟燕的自走棋 | 并查集
【题意】
有 个人, 个装备。每个人只能有一个装备,一个装备只能分配给一个人。
其中第 件装备可以给 个人,分别为 ,装备了能总体增加 战斗力。
问你总体战斗力最大值能为多少?【范围】
【思路】参考题解
我们把人当做点,装备当做边,就有了一个图。
我们如果不要某个装备,相当于把这条边给删掉。
我们最后的合法情况是什么情况?就是对于每一个连通图来说,要么: 个点连接 条边,为一棵树(或者一个有自环的点) 个点连接 条边,为一个基环树按照出题人的结论按照贪心的思路,每次拿权值最大的边。如果是一个点,那么相当于删掉这个点。如果是两个不同的点,那么相当于把这两个点缩为一个点,可以通过并查集来实现。
为什么贪心可以呢?考虑一个合法方案,假设是一个基环树。
我们在树的任意地方添上一条权值大于树的所有边的新边。容易得到,我们都可以通过断掉一条小边,加上这条大边,使得最后得到的解合法且更大。【代码】
时间复杂度:const int MAX = 2e5+50; int fa[MAX]; bool used[MAX]; int find_fa(int x){ if(x == fa[x])return x; return fa[x] = find_fa(fa[x]); } void add(int x,int y){ int fx = find_fa(x); int fy = find_fa(y); if(fx != fy){ fa[fx] = fy; } } bool sam(int x,int y){ int fx = find_fa(x); int fy = find_fa(y); return fx == fy; } struct node{ int ta,tb; ll w; bool operator <(const node &ND)const{ return w > ND.w; } }aa[MAX]; int main() { int n,m;scanf("%d%d",&n,&m); for(int i = 1;i <= n;++i)fa[i] = i; for(int i = 1;i <= m;++i){ int shu;scanf("%d",&shu); if(shu == 1){ scanf("%d%lld",&aa[i].ta,&aa[i].w); aa[i].tb = aa[i].ta; }else{ scanf("%d%d%lld",&aa[i].ta,&aa[i].tb,&aa[i].w); } } sort(aa+1,aa+1+m); ll res = 0; for(int i = 1;i <= m;++i){ int x = find_fa(aa[i].ta); int y = find_fa(aa[i].tb); if(x != y){ if(!used[x]){ res += aa[i].w; used[x] = 1; }else if(!used[y]){ res += aa[i].w; used[y] = 1; } fa[x] = y; }else{ if(!used[x]) res += aa[i].w; used[x] = 1; } } printf("%lld",res); return 0; }
G:九峰与蛇形填数 | 差分 + 优先队列
【题意】
给定一个 的初始全 的矩阵。
进行填数 次。每次选择左上角为 ,填边长为 的蛇形矩阵。
蛇形矩阵类似下图:最后输出最终的矩阵。
【范围】
【思路】赛内想 + 来不及写了吃了个饭的时候想出来了
我们希望快速算出每一个位置 最终是被哪一个矩形所覆盖的。
找了很久的二维线段树的区间置数+单点查询的板子,但是找不到...
我们二维区间差分可以做到给某一个矩形增加 ,但是也很难做到区间数字置为 呀。
但是如果是一维的话,就好办了:
假设有多次操作,第 次让编号为 的矩形覆盖位置 如果是这样的话我们怎么做呢?
因为编号依次增大,我们可以搞一个优先队列,每次最优先考虑编号最大的矩形。然后我们要获得每个位置分别是哪些矩形的开始位置 记录在 中,以及每个矩形的最右范围 。
这样,我们每次遇到 非空,就把矩形编号放进优先队列中去,还要判断队列中最大编号是否超过 了,是的话直接把该矩形编号 掉。
二维怎么做呢?其实一样的!二维就是多个一维相加即可做,不要想复杂了。
然后得到每个位置的最终矩形编号,我们容易直接计算出该位置的数字。【代码】
时间复杂度:
_ __ __ _ _ | | \ \ / / | | (_) | |__ _ _ \ V /__ _ _ __ | | ___ _ | '_ \| | | | \ // _` | '_ \| | / _ \ | | |_) | |_| | | | (_| | | | | |___| __/ | |_.__/ \__, | \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_| __/ | |___/ const int MAX = 3e3+50; struct node{ int z,y; int bh; }; struct node2{ int a,b,k; }bb[MAX]; vector<node>V[MAX]; vector<int> de[MAX]; int aa[MAX][MAX]; unordered_map<int,int>MP; priority_queue<int>Q; int main() { int n,m;scanf("%d%d",&n,&m); for(int i = 1;i <= m;++i){ int x,y,k;scanf("%d%d%d",&x,&y,&k); bb[i].a = x; bb[i].b = y; bb[i].k = k; for(int j = x;j <= x + k - 1;++j) V[j].push_back({y,y+k-1,i}); } for(int i = 1;i <= n;++i){ for(int j = 1;j <= n;++j)de[j].clear(); MP.clear(); while(!Q.empty())Q.pop(); MP[0] = INF; for(int j = 0;j < V[i].size();++j){ de[V[i][j].z].push_back(V[i][j].bh); MP[V[i][j].bh] = V[i][j].y; } Q.push(0); for(int j = 1;j <= n;++j){ for(int k = 0;k < de[j].size();++k) Q.push(de[j][k]); while(MP[Q.top()] < j)Q.pop(); aa[i][j] = Q.top(); } } for(int i = 1;i <= n;++i){ for(int j = 1;j <= n;++j){ int shu = aa[i][j]; if(shu == 0)printf("0 "); else{ int hang = i - bb[shu].a + 1; int lie = j - bb[shu].b + 1; int res = (hang-1)*(bb[shu].k); if(hang&1){ res+=lie; }else{ res+=bb[shu].k-lie + 1; } printf("%d ",res); } } puts(""); } return 0; }
H:吴楚月的表达式 | 树形
【题意】
给定一颗有根树,根编号为
有 个节点,每个节点有权值 ,每条边有一个操作符 中的一种。
问你从根出发到各个节点,表达式按照正常的优先级去计算,到各个节点的权值分别为多少。
对答案取模【范围】
【思路】赛内
考虑到没有 和 的括号的优先级干扰,我们把每个点的权值记录成 的形式。
如果是乘法与除法,根据优先级,我们只对 进行计算。
如果是加法与减法,根据优先级,我们把 替换成 ,然后把 替换该节点的权值,正负号表示加或者减。【代码】
时间复杂度:_ __ __ _ _ | | \ \ / / | | (_) | |__ _ _ \ V /__ _ _ __ | | ___ _ | '_ \| | | | \ // _` | '_ \| | / _ \ | | |_) | |_| | | | (_| | | | | |___| __/ | |_.__/ \__, | \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_| __/ | |___/ const int MAX = 1e5+50; ll q1[MAX],q2[MAX]; vector<int>V[MAX]; char op[MAX]; ll aa[MAX]; void dfs(int x){ for(auto it : V[x]){ if(op[it] == '+'){ q1[it] = (q1[x] + q2[x]) % MOD; q2[it] = aa[it]; }else if(op[it] == '-'){ q1[it] = (q1[x] + q2[x]) % MOD; q2[it] = -aa[it] + MOD; }else if(op[it] == '*'){ q1[it] = q1[x]; q2[it] = q2[x] * aa[it] % MOD; }else if(op[it] == '/'){ q1[it] = q1[x]; q2[it] = q2[x] * inv(aa[it]) % MOD; } dfs(it); } } int main() { int n;scanf("%d",&n); for(int i = 1;i <= n;++i)scanf("%lld",&aa[i]); for(int i = 2;i <= n;++i){ int t;scanf("%d",&t); V[t].push_back(i); } scanf("%s",op+2); q1[1] = 0;q2[1] = aa[1]; dfs(1); for(int i = 1;i <= n;++i){ printf("%lld ",((q1[i] + q2[i]) % MOD + MOD) % MOD); } return 0; }
I:九峰与分割序列 | + 单调队列优化
- 【题意】嗯嗯题目挺言简意赅的就誊过来了
给定一个长度为 的序列,将其分割成若干个子区间.
子区间的贡献为:若前一个子区间的长度 且该区间长度 ,则贡献为区间和的两倍,否则贡献为区间和。
第一个子区间的的前一个子区间长度视为 。
求一种分割方法,使得所有子区间贡献之和最大,输出最大贡献。 - 【范围】
- 【思路】题解 + 代码
这题貌似是除了魔方模拟外最难的题目了...我也理解了很久。
容易想到,我们设一个 ,表示: 表示到 位置为止,且最后一个区间长 的最大贡献 表示到 位置为止,且最后一个区间长 的最大贡献
更新也很好想到:最终答案为
这样子貌似要用好多个线段树去维护,挺麻烦的。我们换一种设法:
设 ,设
这样转移就变成了:唔呼,每行都巧妙地别有深意???
这个时候,我们发现唯一的麻烦就是去转移那个 的第二行了。
我们直接用单调队列 去维护那个最大的 就可以了。
为什么是单调队列呢?因为我们有 且需要求那个表达式的最大值。 - 【代码】
时间复杂度:const int MAX = 5e6+50; int num[MAX]; ll pre[MAX]; int L,R; int deq[MAX]; ll ans[MAX],f[MAX]; int main() { int n,k;scanf("%d%d",&n,&k); for(int i = 1;i <= n;++i){ scanf("%d",&num[i]); ans[i] = f[i] = pre[i] = pre[i-1] + num[i]; } L = 0;R = 0; deq[R++] = k + 1; for(int i = k + 2;i <= n;++i){ while(L < R && i - deq[L] > k)L++; ans[i] = max(f[deq[L]] + 2 * (pre[i] - pre[deq[L]]),ans[i-1] + num[i]); f[i] = ans[i - k - 1] + pre[i] - pre[i - k - 1]; while(L < R && f[deq[R-1]] + 2 * (pre[i] - pre[deq[R-1]]) < f[i])R--; deq[R++] = i; } printf("%lld",ans[n]); return 0; }
J:邬澄瑶的公约数 | 数论
【题意】
求答案取模
【范围】
【思路】赛内
考虑到 的本质就是求出 ,求出每个质数的最小幂次。
我们算出每个质数的最小幂次,乘起来即可。
其实细想只要 的暴力判断代码即可,我这个由于是第二题,直接瞎敲敲就随意了ww【代码】
时间复杂度: 带优化,卡不卡估计都能过 虽然过的飞快_ __ __ _ _ | | \ \ / / | | (_) | |__ _ _ \ V /__ _ _ __ | | ___ _ | '_ \| | | | \ // _` | '_ \| | / _ \ | | |_) | |_| | | | (_| | | | | |___| __/ | |_.__/ \__, | \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_| __/ | |___/ const int MAX = 2e4+50; int cnt; bool vis[MAX]; int prime[MAX]; int shu[MAX]; int xx[MAX],pp[MAX]; void shai(int n){ for(int i = 2;i <= n;++i){ if(!vis[i]){ prime[++cnt] = i; } for(int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n;++j){ vis[i * prime[j]] = 1; if(i % prime[j] == 0)break; } } } int main() { int n;scanf("%d",&n); shai(10000); for(int i = 1;i <= cnt;++i)shu[i] = INF; int mn = INF; for(int i = 1;i <= n;++i)scanf("%d",&xx[i]); for(int i = 1;i <= n;++i)scanf("%d",&pp[i]); for(int i = 1;i <= n;++i){ int t = xx[i]; int p = pp[i]; for(int j = 1;j <= cnt;++j){ if(prime[j] > t){ mn = min(mn,j-1); break; } int ci = 0; while(t % prime[j] == 0){ ci++; t /= prime[j]; } ci *= p; shu[j] = min(shu[j],ci); } } ll res = 1; for(int i = 1;i <= mn;++i){ res = res * qpow(prime[i],shu[i]) % MOD; } printf("%lld",res); return 0; }