浙农大第十九届程序设计竞赛 J-Tree & 树上启发式合并的理解

前言

树上启发式合并好啊，可惜还不太会啊

分析

1.凡事始于朴素：根据题目，我得在每一个子树内部去寻找答案。

假设是这样的一棵树。首先在3节点的子树中去找，首先遍历4节点，

统计一下，这时的lca是3，记录一个k并求出 $图片说明$ 表示另一个数的出现次数，同时 $图片说明$ 。然后去到5节点,

同样的，首先找到满足 $图片说明$ 的数的个数，同时将 $图片说明$ 。
然后进入10号节点....

这个时候我们发现已经统计完了3节点的子树，向上走一步同时vis数组清零，到达2号，根据统计3节点子树的方法一样，先把3节点所有子树加入贡献(注意，是把vis清零后再重新跑一遍3节点的子树)

然后再进入6节点，统计答案....

2.会发现，有许多不必要的重复操作，我为什么要把3节点子树的vis清零呢？我一定要把所有的都清零吗？于是树上启发式合并就来了。名字听着挺nb的，其实就是最大减少重复操作。就比如，在这棵树中，我如果要减少重复操作，明显就得最小化进入节点较多的子树的次数。也就是说，尽可能多的保留重儿子的信息(不清零)，在统计时，只需要搜索轻儿子。
先给出代码

inline void dsu(int u,int v,bool w)
{
    for (int i=h[u];~i;i=nex[i])
    {
        int j=ver[i];
        if(j==v||j==son[u]) continue;
        dsu(j,u,0);
    }
    if(son[u]) dsu(son[u],u,1);

    for (int i=h[u];~i;i=nex[i])
    {
        int j=ver[i];
        if(j==v||j==son[u]) continue;

        cal(j,u,u),upd(j,u,1);
    }

    k[val[u]]++;
    if(!w) upd(u,v,-1);
}

然后看图模拟一遍(以1节点为lca统计答案)：首先，重儿子(节点数最多的那个)为2，先跑入7，9节点统计完这两个子树对答案产生的贡献之后，再加入重儿子

会发现，此时2节点的子树内部信息不会被清零，

然后开始与轻儿子统计对答案的贡献，避免了重新进入2号节点统计每一个值的出现个数的问题。

代码

/*树上启发式合并*/
#include<bits/stdc++.h>

#define R register
#define ll long long
#define inf INT_MAX

using namespace std;

const int N=1e5+10;

int n,tot;ll ans;
int h[N],nex[N<<1],ver[N<<1];
int son[N],val[N],siz[N];

map<int,int>k;

inline void add(int x,int y)
{
    nex[tot]=h[x];
    ver[tot]=y;
    h[x]=tot++;
}

inline void dfs(int u,int v)
{
    siz[u]=1;
    for (int i=h[u];~i;i=nex[i])
    {
        int j=ver[i];
        if(j==v) continue;

        dfs(j,u);

        siz[u]+=siz[j];
        if(siz[son[u]]<siz[j]) son[u]=j;
    }
}

inline void cal(int u,int v,int lca)
{
    ans+=(ll)k[2*val[lca]-val[u]];
    for (int i=h[u];~i;i=nex[i])
        if(ver[i]!=v) cal(ver[i],u,lca);
}

inline void upd(int u,int v,int va)
{
    k[val[u]]+=va;
    for (int i=h[u];~i;i=nex[i])
        if(ver[i]!=v)
            upd(ver[i],u,va);
}

inline void dsu(int u,int v,bool w)
{
    for (int i=h[u];~i;i=nex[i])
    {
        int j=ver[i];
        if(j==v||j==son[u]) continue;
        dsu(j,u,0);
    }
    if(son[u]) dsu(son[u],u,1);

    for (int i=h[u];~i;i=nex[i])
    {
        int j=ver[i];
        if(j==v||j==son[u]) continue;

        cal(j,u,u),upd(j,u,1);
    }

    k[val[u]]++;
    if(!w) upd(u,v,-1);
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof(h));
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y),add(y,x);
    }

    dfs(1,0);
    dsu(1,1,0);

    printf("%lld\n",ans*2ll);

    return 0;
}

后话

篇幅极短，且用词不规范，不知是否会误导其他人(应该也没多少人看)