Probatility Space Basis

概率空间/三元组（$\mathrm{\Omega }\backslash Omega$,$\mathcal{F}\backslash mathcal\{F\}$,$\mathcal{P}\backslash mathcal\{P\}$）

• 样本空间：一个非空的任意集合$\mathrm{\Omega }\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }\backslash Omega\backslash neq\; \backslash emptyset$，一个实验的所有可能的输出构成的集合；
• 事件空间：$\sigma \backslash sigma$代数，事件是样本空间中一些样本的集合；
• 概率测度：将事件空间中的事件映射到$[0,1][0,1]$；

$\sigma \backslash sigma$代数

令$\mathrm{\Omega }\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }\backslash Omega\backslash neq\; \backslash emptyset$，$\mathbf{P}(\mathrm{\Omega })\backslash mathbf\{P\}(\backslash Omega)$是其幂集，如果$\mathcal{F}\subseteq \mathbf{P}(\mathrm{\Omega })\backslash mathcal\{F\}\backslash subseteq\backslash mathbf\{P\}(\backslash Omega)$且满足以下性质：

1. $\mathcal{F}\backslash mathcal\{F\}$包含$\mathrm{\Omega }\backslash Omega$，即$\mathrm{\Omega }\in \mathcal{F}\backslash Omega\; \backslash in\; \backslash mathcal\{F\}$；
2. $\mathcal{F}\backslash mathcal\{F\}$在补运算下是封闭的，即如果$A\in \mathcal{F}A\backslash in\; \backslash mathcal\{F\}$，则$A^c:=\{\mathrm{\Omega }\mathrm{\backslash }A\}\in \mathcal{F}A^c:=\backslash \{\backslash Omega\backslash backslash\; A\backslash \}\backslash in\; \backslash mathcal\{F\}$；
3. $\mathcal{F}\backslash mathcal\{F\}$在可数个并操作下是封闭的，即$A_i\in \mathcal{F},i=1,2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},A\_i\backslash in\; \backslash mathcal\{F\},\; i=1,2,...,$则${\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\in \mathcal{F}\backslash bigcup\_\{i=1\}^\{\backslash infty\}A\_i\backslash in\; \backslash mathcal\{F\}$；

推论

1. 如果$\mathcal{F}\backslash mathcal\{F\}$是一个$\sigma \backslash sigma$代数，则其对可数个交操作是封闭的；
2. 假定$\mathrm{\Omega }\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }\backslash Omega\backslash neq\backslash emptyset$，常见的平凡$\sigma \backslash sigma$代数有

• $\mathcal{F}=\{\mathrm{\Omega },\mathrm{\varnothing }\}\backslash mathcal\{F\}=\backslash \{\backslash Omega,\backslash emptyset\backslash \}$；
• $\mathcal{F}=\mathbf{P}(\mathrm{\Omega })\backslash mathcal\{F\}=\backslash mathbf\{P\}(\backslash Omega)$；
• $A\subseteq \mathrm{\Omega }A\backslash subseteq\backslash Omega$，则$F=\{A,A^c,\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\}F=\backslash \{A,A^c,\backslash emptyset,\backslash Omega\backslash \}$是一个$\sigma \backslash sigma$代数；

$\sigma \backslash sigma$代数的生成：

1. 至多可数集合$\mathrm{\Omega }\backslash Omega$上，可通过可数个集合的划分生成
2. 唯一最小$\sigma \backslash sigma$代数

$Borel-\sigma Borel-\backslash sigma$代数

关于$\mathrm{\Omega }\backslash Omega$开集的$\sigma \backslash sigma$代数，不是由$\mathrm{\Omega }\backslash Omega$的划分生成；

概率测度

1. $\mathrm{\Omega }\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }\backslash Omega\backslash neq\backslash emptyset$
2. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })\backslash mathcal\{F\}\backslash subseteq\backslash mathcal\{P\}(\backslash Omega)$为一个$\sigma \backslash sigma$代数：一些集合的并，概率空间中表现为事件；
3. 函数$P:\mathcal{F}\to [0,1]P:\backslash mathcal\{F\}\backslash rightarrow[0,1]$是一个概率测度当其满足：

• $P(\mathrm{\Omega })=1P(\backslash Omega)=1$
• $PP$符合$\sigma \backslash sigma$可加性（两两不相交的并）：$P({\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)={\sum }_i^{\mathrm{\infty }}p(A_i)P(\backslash bigcup^\{\backslash infty\}\_\{i=1\}A\_i)=\backslash sum\_i^\{\backslash infty\}\; p(A\_i)$

测度

1. $X\mathrm{\ne }\mathrm{\varnothing }X\backslash neq\backslash emptyset$
2. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\mathrm{\Omega })\backslash mathcal\{F\}\backslash subseteq\backslash mathcal\{P\}(\backslash Omega)$为一个$\sigma \backslash sigma$代数
3. 函数$\mu :\mathcal{F}\to [0,\mathrm{\infty }]\backslash mu:\backslash mathcal\{F\}\backslash rightarrow[0,\backslash infty]$是一个测度当其满足：

• $\mu (\mathrm{\varnothing })=0\backslash mu(\backslash empty)=0$
• $\mu \backslash mu$符合$\sigma \backslash sigma$可加性（两两不相交的并，也称可列(数)可加性）$\{A_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\subseteq \mathcal{F}\backslash \{A\_i\backslash \}\_\{i=1\}^\{\backslash infty\}\backslash subseteq\backslash mathcal\{F\}$： $\mu ({\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)={\sum }_i^{\mathrm{\infty }}u(A_i)\backslash mu(\backslash bigcup^\{\backslash infty\}\_\{i=1\}A\_i)=\backslash sum\_i^\{\backslash infty\}\; u(A\_i)$

支撑

1. 定义

• 一个随机变量$XX$的支撑$S_X\in BS\_X\backslash in\; B$是最小的闭集，该闭集上的概率$P(S_X)P(S\_X)$为1；
• 拓扑空间上的开球$B(x,r)B(x,r)$，在开球上$P(B(x,r))\ge 0P(B(x,r))\backslash geq\; 0$；

2. 离散型随机变量的支撑：$\{x\in dom(X)\mathrm{\mid }p(X=x)\ge 0\}\backslash \{x\backslash in\; dom(X)|p(X=x)\backslash geq\; 0\backslash \}$；

理解

1. 测度是对集合“长度”的一种度量，将其映射到一个实值
2. $\sigma \backslash sigma$代数是一个集合的集合，在概率空间上，其表现为事件集合
3. 拉普拉斯概率：有限样本集合上的古典概型
4. 狄拉克测度
5. 随机变量：是一个样本空间到实数上映射