《具体数学》多重求和

套路：变量替换或者求2S再求S

例题一：

对于一个对称矩阵，求解

$S=\sum_{1\leq{j}\leq{k}\leq{n}}a_jb_k$

$2S=\sum_{1\leq{j,k}\leq{n}}a_jb_k + \sum_{1\leq{k=j}\leq{n}} a_ja_k =(\sum_{1\leq{k,j}\leq{n}}a_k)^2+\sum_{1\leq{k}\leq{n}}a_k^2$

$S=\frac{1}{2}((\sum_{1\leq{k,j}\leq{n}}a_k)^2+\sum_{1\leq{k}\leq{n}}a_k^2)$

例题二：

求解 $S=\sum_{1\leq{j}\leq{k}\leq{n}} \frac{1}{k-j}$

$S=\sum_{1\leq{j}\leq{k}\leq{n}} \frac{1}{k-j} \\ =\sum_{1\leq{k}\leq{n}} \sum_{1\leq{j}\leq{k}} \frac{1}{k-j}\\ =\sum_{1\leq{k}\leq{n}} \sum_{1\leq{k-j}\leq{k}} \frac{1}{j}\\ =\sum_{1\leq{k}\leq{n}} H_{k-1}$

其中H代表调和级数

《具体数学》多重求和

套路：变量替换 或者 求2S再求S

例题一：

例题二：

套路：变量替换或者求2S再求S