J 高数签到题

思路

$\int_0^1(x-x^2)^ndx$
$=\int_0^1(\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2)^ndx$
$=\frac{1}{4^n}\int_0^1(1-(2x-1)^2)^ndx$

令 $sin(t)=2x-1$ ，有 $cos(t)dt=2dx$ ，换元得

$=\frac{1}{4^n}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1-sin^2(t))^n\frac{cos(t)}{2}dt$
$=\frac{1}{4^n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos^{2n+1}(t)dt$

由华莱士公式：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^n(x)dx=\left\{ \begin{aligned} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{\pi}{2} && n=2k \\ \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} && n=2k+1 \\ \end{aligned} \right.$

于是： $\int_0^1(x-x^2)^ndx$
$=\frac{1}{4^n}\cdot\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
$=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$

J - Easy Integration

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