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题解题解 | C 简单的三角形构造

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题解 | C 简单的三角形构造

623 浏览 0 回复 2021-08-27

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经此一役小红所向无敌

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11214/A

题意：给出一个圆 $O$ ，以及圆内一点 $P$ ，面积 $S$
要求找到一个被包含在圆内的三角形，不包含 $P$ ，并且面积至少为 $S$

首先，我们易知，最后找到的三角形必定是圆内接三角形。因为如果有一个顶点不在圆上，那么我们可以延长含这一点的一条边，交圆于一点，将顶点移到交点，面积必然变大。显然面积越大越好

图片说明
如图，我们控制三角形的一条边 $AB$ ，显然当 $C$ 在 $AB$ 垂直平分线与圆的交点时，面积最大（同底比较高）
我们可以设 $OM=x$
那么得到 $AB=2\sqrt{r^2-x^2}, MC=x+r$
那么面积 $S=\frac{1}{2}*AB*MC=\sqrt{r^2-x^2}*(x+r)=\sqrt{(r+x)^3(r-x)}$
设函数 $f(x)=(r+x)^3(r-x)$
那么 $f'(x)=3(r+x)^2(r-x)-(r+x)^3=(r+x)^2(2r-4x)$
于是 $0<x<\frac{r}{2}:f'(x)>0$
$x>\frac{r}{2}:f'(x)<0$
可以近似得到 $f(x)$ 的图像：
图片说明 $S=\sqrt{f(x)}$ 的增减性也是如此

这时，我们回过去看题目，对于 $P$ ，在不包含 $P$ 的三角形中， $OM$ 的取值范围为 $[0, OP]$
图片说明
于是，在 $OP>\frac{r}{2}$ 时，面积最大值在 $x=\frac{r}{2}$ 取到
在 $OP\leq\frac{r}{2}$ 时，面积最大值在 $x=OP$ 取到

完

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