第五周巩固作业

22(1)

$\int_{-∞}^{+∞}f(x)=1\\ 当x\leq 0\quad 有 F(x)=\int_{-∞}^{x}f(x)=\int_{-∞}^{x}0dx=0\\ 当x> 0\quad 有F(x)=\int_{-∞}^{0}f(x)+\int_{0}^{+∞}f(x)\\ =\int_{0}^{+∞}-\frac{Ab}{2}xde^{-\frac{x^2}{b}}\\ =-\frac{Ab}{2}xe^{-\frac{x^2}{b}}｜_{0}^{+∞}+\frac{Ab}{2}\int_{0}^{+∞}e^{-\frac{x^2}{b}}dx \\ =\frac{Ab\sqrt{b}}{2}\int_{0}^{+∞}e^{-u^2}du\\=\frac{Ab\sqrt{b\pi}}{4}\\=1 \\\ A=\frac {4}{b\sqrt{b\pi}}$

23

当 $x>1000$ 时， $F(x)=\int _{1000} ^x \frac{1000}{x^2} dx = -\frac{1000}{x}|_{1000} ^x =-\frac{1000}{x}+1$

$F(1500)=1-\frac{1000}{1500}=\frac{1}{3}$

设X为五支灯泡中寿命大于1500h的数量。

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C_5^0(\frac{1}{3})^5-C_5^1\frac{2}{3}(\frac{1}{3})^4=\frac{232}{243}$

> 232/243
[1] 0.9547325
> pbinom(3,5,1/3)
[1] 0.9547325

24

$F(10)=\int _{-\infty}^{10}f_x (x)dx=\int _{-\infty}^{0}0 dx + \int _{0}^{10}\frac{1}{5}e^{\frac{-x}{5}}dx=-e^{-\frac{x}{5}}|_0^{10}=1-e^{-2}$

$P(X>10)=1-F(10)=e^{-2}\\ P(Y=k)=C_5^ke^{-2k}(1-e^{-2})^{5-k},k=0,1,2,3,4,5$

$P(Y=k)=C_5^ke^{-2k}(1-e^{-2})^{5-k},k=0,1,2,3,4,5\\ P(Y\ge 1)=0.5167$

> 1-dbinom(0,5,exp(-2))
[1] 0.5166756

27 (1)

$P\{x\le 105\}=\Phi ( \frac{105-110}{12})=1-\Phi (0.417)=0.3383$

$P(100< X \le 120)=\Phi(\frac{5}{12}-\Phi(\frac{100-110}{12}))=2\Phi(\frac{10}{12})-1 =0.5952$

27 (2)

$P\{X>x\}=1-P\{X\le x\}=1-\Phi (\frac{x-110}{12})\\ 1-\Phi (\frac{x-110}{120})\le 0.05\\ \Phi (\frac{x-110}{12})\ge 0.95 = \Phi (1.645)\\ x\ge 129.74$

31

$F(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x|A\}P(A)+P\{X\le x|\}\bar{A}\\ F(x)=0.2+0.8*x/30 \quad (0\le x <30)$

$F(x)=\left\{ \begin{aligned} 0\ \ \ ,& x<0 \\ 0.2 + 0.8x/30\ \ \ , & 0\le x < 30\\ 1\ \ \ ,& x \ge 30 \end{aligned} \right.$

$X不是连续型随机变量，因为F(X)在x=0点不连续，不存在一点到F(x)在这个点集上取值的概率为1，所以也不是离散型随机变量$