一.转置和逆矩阵

①

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$(AB)T=BTAT

证明：

感觉这个不好直接证明，求和符号一坨一坨的，但是阔以弄个直观一点不是直接把转置符号拿进去的：
比如A，B都是 $n\times 1$n×1的列向量，现在 $A{B}^T$ABT就是一个 $n\times n$n×n的矩阵，那么 $(A{B}^T{)}^T$(ABT)T是多少喃？反正肯定不是 $A^{T}B$ATB，因为这样子是一个 $1\times 1$1×1的矩阵了，而反一哈 $B^{T}A$BTA就是一个 $n\times n$n×n的矩阵，稍微要对一些

②

$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$(AB)−1=B−1A−1

证明：

$(AB{)}^{-1}AB=E$(AB)−1AB=E
两边同时右乘一个 $B$B变成：
$(AB{)}^{-1}A=B^{-1}$(AB)−1A=B−1
两边再同时右乘一个 $A$A变成：
$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$(AB)−1=B−1A−1
这样就搞定了，与转置比较统一，感觉挺爽的~

推广：

$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}$(ABC)−1=C−1B−1A−1

③

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$(A+B)T=AT+BT
这个还很容易理解，写这个是因为逆矩阵没有对应的样子。。。

④

$(A+B{)}^{-1}=???$(A+B)−1=???
为啥没有喃？看别的小伙伴说，假如不是矩阵是数的话都不怎么对
$\frac{1}{a+b}$a+b1​≠ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$a1​+b1​

所以是没有这个的，感觉好不爽啊~
如果非要找一哈 $(A+B{)}^{-1}$(A+B)−1是多少的话，也阔以
$(A+B{)}^{-1}=[B(B^{-1}A+E){]}^{-1}=\left[B\right(B^{-1}+A^{-1})A{]}^{-1}=A^{-1}(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}{B}^{-1}$(A+B)−1=[B(B−1A+E)]−1=[B(B−1+A−1)A]−1=A−1(A−1+B−1)−1B−1

二.分块矩阵的结论

①行列式

主对角线

$\mid \begin{array}{cc}A& O\\ \ast & B\end{array}\mid =\mid A\mid \mid B\mid$∣∣∣∣​A∗​OB​∣∣∣∣​=∣A∣∣B∣

副对角线

$\mid \begin{array}{cc}O& A\\ B& \ast \end{array}\mid =(-1{)}^{nm}\mid A\mid \mid B\mid$∣∣∣∣​OB​A∗​∣∣∣∣​=(−1)nm∣A∣∣B∣
$A,B$A,B分别是nxn,mxm的方正

②逆矩阵

主对角线

${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right]$[AO​OB​]−1=[A−1O​OB−1​]

副对角线

${\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right]$[OB​AO​]−1=[OA−1​B−1O​]

三.关于行列式的一些结论

①：

$\mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}$∣A∗∣=∣A∣n−1

证明：

$A^{\ast }A=\mid A\mid E$A∗A=∣A∣E
所以同时加行列式：
$\mid A^{\ast }\mid \mid A\mid =\mid \mid A\mid E\mid$∣A∗∣∣A∣=∣ ∣A∣E ∣
而 $\mid \mid A\mid E\mid =\mid A{\mid }^n$∣ ∣A∣E ∣=∣A∣n
所以： $\mid A^{\ast }\mid \mid A\mid =\mid A{\mid }^n$∣A∗∣∣A∣=∣A∣n
所以： $\mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}$∣A∗∣=∣A∣n−1

②：

$\mid A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n(n-1)}$∣A∗(A∗)∗∣=∣A∣n(n−1)

证明：

因为 $A^{\ast }=\mid A\mid A^{-1}$A∗=∣A∣A−1，把 $\left(A^{\ast }\right)$(A∗)看成 $A$A，就有 $(A^{\ast }{)}^{\ast }=\mid (A^{\ast }\left)\mid \right(A^{\ast }{)}^{-1}$(A∗)∗=∣(A∗)∣(A∗)−1
所以 $A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }=\mid A^{\ast }\mid E$A∗(A∗)∗=∣A∗∣E
而 $\mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}$∣A∗∣=∣A∣n−1
所以原式= $\mid \mid A{\mid }^{n-1}E\mid =(\mid A{\mid }^{n-1}{)}^n=\mid A{\mid }^{n(n-1)}$∣∣A∣n−1E∣=(∣A∣n−1)n=∣A∣n(n−1)

③：

$(A^{\ast }{)}^{\ast }=\mid A{\mid }^{(n-2)}A$(A∗)∗=∣A∣(n−2)A

证明：

阔以由上面 $A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }=\mid A^{\ast }\mid E$A∗(A∗)∗=∣A∗∣E得 $(A^{\ast }{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}\mid A^{\ast }\mid E$(A∗)∗=(A∗)−1∣A∗∣E
而 $(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{A}{\mid A\mid }$(A∗)−1=∣A∣A​， $\mid A^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{n-1}$∣A∗∣=∣A∣n−1
所以 $(A^{\ast }{)}^{\ast }=\mid A{\mid }^{(n-2)}A$(A∗)∗=∣A∣(n−2)A
$\mid (A^{\ast }{)}^{\ast }\mid =\mid A{\mid }^{(n-1{)}^2}$∣(A∗)∗∣=∣A∣(n−1)2

证明：

阔以由上面得，只用除掉一个 $\mid A^{\ast }\mid$∣A∗∣就行

④：

$a_{ij}=A_{ij}\Rightarrow A^{\ast }=A^T$aij​=Aij​⇒A∗=AT
$A_{ij}为a_{ij}的代数余子式$Aij​为aij​的代数余子式

⑤：

若 $a_{ij}=A_{ij}$aij​=Aij​， $A$A为非零实矩阵则阔以有以下几个结论：
$①：A^{\ast }=A^T$①：A∗=AT
$②：\mid A\mid =1$②：∣A∣=1
$③：A是正交矩阵$③：A是正交矩阵
因为 $A{A}^{\ast }=A{A}^T=\mid A\mid E$AA∗=AAT=∣A∣E，而 $\mid A\mid =1$∣A∣=1,所以 $A{A}^T=1$AAT=1，所以是正交的

四.关于秩的一些结论

①：

$r(A+B)⩽r\left(A\right)+r\left(B\right)$r(A+B)⩽r(A)+r(B)

②：

$r\left(AB\right)⩽min\left(r\right(A),r(B\left)\right)$r(AB)⩽min(r(A),r(B))

③：

$A$A为 $m\times n$m×n的， $B$B为 $n\times p$n×p的，则：
$r\left(AB\right)\>=r\left(A\right)+r\left(B\right)-n$r(AB)>=r(A)+r(B)−n
特别地，当 $AB=O$AB=O时
$r\left(A\right)+r\left(B\right)⩽n$r(A)+r(B)⩽n

④：

$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r\left(A\right)+r\left(B\right)$r(AO​OB​)=r(A)+r(B)

⑤：

$A$A可逆，则有：
$r\left(AB\right)=r\left(BA\right)=r\left(B\right)$r(AB)=r(BA)=r(B)

证明：

理解一哈就行， $A$A如果是可逆的，那么 $A$A肯定就是满秩，那么不管是对 $B$B左乘还是右乘，都是作行变换或列变换不改变 $B$B的秩，因此就还是 $B$B的秩

五.习题遇到的证明题

①：
$A是二阶方阵，A^n=O，证明:A=O$A是二阶方阵，An=O，证明:A=O

证明：

$\because A^n=0$∵An=0
$\therefore r\left(A\right)\le 1$∴r(A)≤1
当 $r\left(A\right)=0$r(A)=0时显然成立
当 $r\left(A\right)=1$r(A)=1时，设 $A=\alpha {\beta }^T$A=αβT
$A^2=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T=\alpha \left({\beta }^T\alpha \right){\beta }^T$A2=αβTαβT=α(βTα)βT
$\because {\beta }^T\alpha$∵βTα是一个数
$\therefore A^2=\left({\beta }^T\alpha \right)\alpha {\beta }^T=\left({\beta }^T\alpha \right)A$∴A2=(βTα)αβT=(βTα)A
$\therefore A^n=({\beta }^T\alpha {)}^{n-1}A$∴An=(βTα)n−1A
$\therefore A=O$∴A=O

六.相似矩阵

结论

①：
如果矩阵相似，那么特征值相同，反过来，如果特征值相同，却不一定相似，除非是都是对称矩阵