泰勒展开式记忆技巧

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ ~\\ \LARGE sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\ ~\\ \\ \LARGE cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^{n}}{2n!}x^{2n}+o(x^{2n})\\ ~\\ \LARGE \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n+o(x^n)\\ ~\\ \LARGE \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^nx^n+o(x^n)\\ ~\\ \LARGE ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\\ ~\\$

以上是常用的泰勒展开式，其实只需要记3条：

第一条是

$~\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ ~\\$

第二条是

$~\\ \huge sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\ ~\\$

对它求导可得

$~\\ \Large cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^{n}}{2n!}x^{2n}+o(x^{2n})\\ ~\\$

第三条是

$~\\ \huge ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\\ ~\\$

对它求导可得

$~\\ \Large \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^nx^n+o(x^n)\\ ~\\$

再将其中的 $x$ 替换为 $-x$ 可得

$~\\ \Large \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n+o(x^n)\\ ~\\$