题目难度: 简单

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题目描述

给定一个数组 nums 和滑动窗口的大小 k，请找出所有滑动窗口里的最大值。

  • 你可以假设 k 总是有效的，在输入数组不为空的情况下，1 ≤ k ≤ 输入数组的大小。

题目样例

示例

输入: nums = [1,3,-1,-3,5,3,6,7], 和 k = 3
输出: [3,3,5,5,6,7]
解释:

  滑动窗口的位置                最大值
---------------               -----
[1  3  -1] -3  5  3  6  7       3
 1 [3  -1  -3] 5  3  6  7       3
 1  3 [-1  -3  5] 3  6  7       5
 1  3  -1 [-3  5  3] 6  7       5
 1  3  -1  -3 [5  3  6] 7       6
 1  3  -1  -3  5 [3  6  7]      7

题目思考

  1. 如果要求时间复杂度为 O(N), 该如何做?

解决方案

思路

  • 一个比较容易想到的思路是暴力法, 即固定每个起点, 然后求它之后 k 个元素的最大值并依次加入结果中, 这样时间复杂度为 O(Nk), 当 k 很大的时候效率非常低, 该如何提高效率呢?
  • 重新观察题目示例, 如果我们能够动态维护当前窗口的最大值, 那么在窗口移动的时候只需要用 O(1)时间返回这个值即可
  • 窗口右移的时候, 如果新加入的值比原来的最大值还要大的话就好办, 直接更新最大值即可
  • 但问题来了, 窗口右移意味着左边界也要向右移动, 如果正好之前的左边界是最大值该如何处理呢? 显然只保存最大值一个变量是不够的, 我们也需要保存第二大值, 第三大值...
  • 根据上面的分析, 我们需要把这些值保存在一个单调的数据结构中, 一边是窗口里的最大值, 另一边则是最小值
  • 窗口右移的时候, 按照顺序分为三部分操作:
    1. (当加入当前值后窗口长度会超过 k 时, 即right>=k) 移除老的左边界值: 如果它恰好是最大值, 也移除单调数据结构中对应的值
    2. 加入新的右边界值: 此时需要先不断移除最小值, 直到当前新值成为新的最小值再插入, 因为更小的值绝不可能成为最大值的候选项(又旧, 值又小)
    3. (当加入当前值后窗口长度达到 k 时, 即right>=k-1) 将单调数据结构中保存的最大值加入最终结果中
  • 注意上述三个步骤中 3 必须是最后一步, 因为要先调整完当前窗口的最大最小值才行, 而 1 和 2 可以互换位置, 因为可以先处理左边界, 也可以先处理右边界
  • 根据上述过程, 我们只需要处理头和尾的插入删除操作, 很显然双端队列就是最合适的数据结构, 两种操作都只需要 O(1)时间
  • 下面代码对必要的步骤有详细的解释, 特别是对步骤 1 和 2 的一些关键点的解释, 方便大家理解

复杂度

  • 时间复杂度 O(N): 每个值最多加入和移出双端队列各一次, 总共 2N 次操作, 所以时间复杂度是 O(N)
  • 空间复杂度 O(k): 双端队列最多存 k 个值

代码

class Solution:
    def maxSlidingWindow(self, nums: List[int], k: int) -> List[int]:
        # 单调双端队列, 左边存窗口最小值, 右边存窗口最大值
        q = collections.deque()
        res = []
        left = 0
        for right in range(len(nums)):
            # 步骤1 (当加入当前值后窗口长度会超过 k 时, 即right>=k) - 移除老的左边界值: 如果它恰好是最大值, 也移除队列尾
            # 注意左边界如果不是最大值的话, 不会存在于队列中, 因为它后面总有更大的值将左边界从队列中淘汰出去 (步骤2的操作)
            if right >= k:
                if nums[left] == q[-1]:
                    q.pop()
                left += 1
            # 步骤2 (可以和步骤1互换位置) - 加入新的右边界值: 此时需要先不断移除队列左侧最小值, 直到当前新值成为新的最小值再插入左侧, 因为更小的值绝不可能成为最大值的候选项(又旧, 值又小)
            # 注意这里需要是小于而不能是小于等于, 因为如果当最小值等于当前值且都被移除的话, 如果它恰好也是最大值, 那么下次移除左边界的时候就会错误地将当前的值给移除, 而不是移除左边界对应的那个值, 这样会导致后面的最大值计算出现错误
            while q and q[0] < nums[right]:
                q.popleft()
            q.appendleft(nums[right])
            # 步骤3 (当加入当前值后窗口长度达到 k 时, 即right>=k-1) - 将队列右侧最大值加入最终结果中
            if right >= k - 1:
                res.append(q[-1])
        return res

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