洛谷p1220关路灯（区间dp）

题目描述

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为1m/s，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位：m）、功率（W），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入格式

文件第一行是两个数字n(1<=n<=50，表示路灯的总数)和c(1<＝c<=n老张所处位置的路灯号)；

接下来n行，每行两个数据，表示第1盏到第n盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式

一个数据，即最少的功耗(单位：J，1J＝1W·s)。

输入输出样例

输入 #1

5 3
2 10
3 20
5 20
6 30
8 10

输出 #1

270
说明/提示
输出解释：
{此时关灯顺序为3 4 2 1 5，不必输出这个关灯顺序}

这道题是道dp。我们来看看如何设计状态。该记录的量有哪些？哪些灯关了显然是要记录的，老张目前在哪也是要记录的。如果用二进制强行记录哪些灯关了复杂度得爆炸。我们来看看怎么优化。
很显然，老张每路过一个路灯能顺手关就顺手关对吧（不关白不关啊）。这样子一来，老张关的灯肯定是连续的，是个区间。那我们用二进制记录关的灯的想法便转化为了用区间记录关闭了 $[i,j]$[i,j]之间的灯后的耗电值。
那老张的位置怎么记录呢？难道要多开一维记录老张所处的位置吗？
其实并不用。稍微一想就可以知道，老张关了区间 $[i,j]$[i,j]的灯后，所处的位置必然在端点处（端点的灯肯定是最后关的呀），于是我们可以用 $f\left[i\right]\left[j\right]\left[0\right]$f[i][j][0]表示老张在 $i$i处， $f\left[i\right]\left[j\right]\left[1\right]$f[i][j][1]表示老张在 $j$j处。
可以得到转移方程：
$f\left[i\right]\left[j\right]\left[0\right]=min\left(f\right[i+1\left]\right[j\left]\right[0]+(w[i+1]-w\left[i\right])\ast c,f[i+1\left]\right[j\left]\right[1]+(w\left[j\right]-w\left[i\right])\ast c);$f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(w[i+1]−w[i])∗c,f[i+1][j][1]+(w[j]−w[i])∗c);
$f\left[i\right]\left[j\right]\left[1\right]=min\left(f\right[i\left]\right[j-1\left]\right[0]+(w\left[j\right]-w\left[i\right])\ast c,f[i\left]\right[j-1\left]\right[1]+(w\left[j\right]-w[j-1])\ast c);$f[i][j][1]=min(f[i][j−1][0]+(w[j]−w[i])∗c,f[i][j−1][1]+(w[j]−w[j−1])∗c);
$c$c指的是还没关的灯每秒耗电量的总和，这个用前缀和一减就可以得到。

下面是代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
int f[55][55][2], s[55], w[55];
int main(){
	memset(f, 1, sizeof(f));
	int i, j, n, m, c;
	scanf("%d%d", &n, &c);
	for(i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%d%d", &w[i], &s[i]);
		s[i] += s[i-1];
	}
	f[c][c][0] = f[c][c][1] = 0;
	for(i = n; i >= 1; i--){
		for(j = i + 1; j <= n; j++){
			c = s[n] - (s[j] - s[i]);
			f[i][j][0] = min(f[i+1][j][0] + (w[i+1] - w[i]) * c, f[i+1][j][1] + (w[j] - w[i]) * c);
			c = s[n] - (s[j-1] - s[i-1]);
			f[i][j][1] = min(f[i][j-1][0] + (w[j] - w[i]) * c, f[i][j-1][1] + (w[j] - w[j-1]) * c);
		}
	}
	printf("%d", min(f[1][n][0], f[1][n][1]));
	return 0;
}