1. 前缀和

1.1 算法原理

所谓前缀和，就是记录下前方所有数据之和，当所需中间数据时，可以通过o(1)的时间复杂度将数据求出。

  • 一维数组前缀和
  1. 求出1~i的所有项之和。

由于当运算到第i位时，前i-1位已经运算完成，故a[i] = a[i] + a[i-1]。

  1. 当需要[l,r]之和时，可以通过a[r]-a[l-1]求出
  • 二维数组前缀和
  1. 求出左上端点、右下端点分别为(1,1)，(i,j)的长方形内的数据之和

当运算到(i,j)时，前i-1排、第i排前j-1位均已运算完成，故a[i][j] = a[i][j]+a[i-1][j]+a[i-1]-a[i-1][j-1]。

  1. 当需要左上端点、右下端点分别为(x1,y1)，(x2,y2)的长方形内的数据之和时，a[x2][y2]-a[x2][y1-1]-a[x1-1][y2]+a[x1-1][y1-1]

1.2 例题

参考代码：

void solve(){
   
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],a[i]+=a[i-1];
    while(m--){
   
        cin>>l>>r;
        cout<<a[r]-a[l-1]<<endl;
    }
}

参考代码：

void solve(){
   
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>a[i][j],a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
    while(q--){
   
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<a[x2][y2]-a[x2][y1-1]-a[x1-1][y2]+a[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
}

2. 差分

2.1 算法原理

所谓差分，就是记录每位数据与前一位数据之间的差，当需要对区间进行操作时，可以通过o(1)的时间复杂度完成操作。

同时我们可以发现差分数组的前缀和就是原数组。

  • 一维数组差分

  1. 求出与前一项之差。

  2. 当需要对[l,r]范围内的数进行加减操作时时，可以通过b[l]+c、b[r+1]-c实现

  • 二维数组差分

二维差分数组的构建可以由其前缀和的结果来逆向考虑。

当对(x1,y1)，(x2,y2)的长方形内的数据都加上c时，即a[x1,y1]~a[x2,y2]均加c。故当b[x1,y1]+=c，b[x1,y2+1]-=c，b[x2+1,y1]-=c，b[x2+1,y2+1]+=c，即可实现仅区间内的数据加c。

当构建差分数组时，可以发现其为对长宽为1的长方形加a[i,j]，由此实现二维差分数组。

2.2 例题

参考代码：

void solve(){
   
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i] = a[i]-a[i-1];
    while(m--){
   
        cin>>l>>r>>c;
        b[l]+=c;b[r+1]-=c;
    }for(int i=1,t=0;i<=n;i++) t+=b[i],cout<<t<<' '; 
}

参考代码：

void add(){
   
    b[x1][y1] += c;b[x1][y2+1] -=c;
    b[x2+1][y1] -= c;b[x2+1][y2+1] +=c;
}
void solve(){
   
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>a[i][j],x1=x2=i,y1=y2=j,c=a[i][j],add();
    while(q--){
   
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        add();
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
   
        for(int j=1;j<=m;j++){
   
            a[i][j] = b[i][j] + a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
            cout<<a[i][j]<<' ';
        }cout<<endl;
    }
}

3. 双指针

3.1 算法原理

双指针问题主要是依据序列性质，使用指针j对有效查询范围进行记录，从而减少运算的时间复杂度。

双指针问题主要分为下面两类：

  1. 在一个序列中，两个指针维护一段区间。
  2. 在两个序列中，维护某种次序

基本模板(来自AcWing)

void solve(){
   
    for(int i=0,j=0;i<n;i++){
   
        while(j<i && check(i,j)) j++;
        
        //具体问题逻辑
    }
}

3.2 例题

解决逻辑：设置cnt数组记录[j,i]区间内的数据出现次数，当i指向数a[i]已经出现时，让j向前移动，直到[j,i-1]中a[i]出现次数为0。过程中记录长度。

参考代码：

void solve(){
   
    for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
   
        if(cnt[a[i]]){
   
            while(cnt[a[i]]) cnt[a[j++]]--;
        }
        cnt[a[i]]++;
        ans = max(i-j+1,ans);
    }cout<<ans<<endl;
}

解决逻辑：由序列升序，可以直到当a[i]+a[j]>x时，a[i+1]+a[j]必然大于x。所以可以使用j来记录需要判断的边界，从而减少搜索时间。

参考代码：

void solve(){
   
    for(int i=0,j=m-1;i<n,j>0;i++){
   
        while(a[i]+b[j]>x) j--;
        if(a[i]+b[j]==x){
   
            cout<<i<<' '<<j<<endl;
            return 0;
        }
    }
}

解决逻辑：由子串是在母串中按次序出现，我们可以按位寻找子串每位在母串中对应的位置。

参考代码：

void solve(){
   
    for(int i=0,j=0;i<n && j<m;i++,j++){
   
        while(a[i] != b[j] && j<m) j++;
        if(i==n-1 && j < m) {
   cout<<"Yes"<<endl;return 0;}
    }cout<<"No"<<endl;
}