现在给你一个问题:给你一个数组 ,其中有N个数字,现在给你一次询问,给你区间[l ,r],问你在这个区间内的最大值为多少?
其实这个问题之前学过的线段树就可以解决,我们用一个线段树去维护区间的最大值就可以了。但是!如果我们查询的次数多了,那么线段树这种解法显然不是一个最优解。所以在这里介绍一种新的解法-------ST表
RMQ(Range Minimum/Maximum Query),即区间最值查询,这是一种在线算法,所谓在线算法,是指用户每次输入一个查询,便马上处理一个查询 RMQ算法一般用较长时间做预处理,时间复杂度为O(nlogn),然后可以在O(1)的时间内处理每次查询。
我们假设数组arr为:1,2,6,8,4,3,7
我们设二维数组dp[i][j]表示从第i位开始连续个数中的最小值。例如dp[2][1]就表示从第二位数开始连续两个数的最小值(也就是从第二位数到第三位数的最小值),即2,6中的最小值,所以dp[2][1] = 2;
其实我们求 dp[i][j] 的时候可以把它分成两部分,第一部分是从 到 ,第二部分从到 ,为什么可以这么分呢?其实我们都知道二进制数前一个数是后一个的两倍,那么可以把 到 这个区间通过分成相等的两部分, 那么转移方程很容易就写出来了。(dp[i][0]就表示第i个数字本身)
dp[i][j] = min(dp [i][j - 1], dp [i + (1 << j - 1)][j - 1])
由此给出下列代码:
1 void rmq_init(){ 2 for (int i=1;i<=n;i++) 3 dp[i][0] = a[i]; 4 for (int j=1;(1<<j)<=n;j++){ 5 for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){ 6 dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]) 7 } 8 } 9 }
这里需要注意一个循环变量的顺序,我们看到外层循环变量为j,内层循环变量为i,这是为什么呢?可以互换一下位置吗?
答案当然是不可以,我们要理解这个状态转移方程的意义,这个状态方程的含义是:先更新每两个元素中的最小值,然后通过每两个元素的最小值获得每4个元素中的最小值,依次类推更新所有长度的最小值。
稍微解释下这个程序的边界条件怎么去确定的:
(1<<j) <=n : 因为j其实就是体现了这个程序的一个精髓->倍增,显然我的长度不能超过数组的长度啊
(i+(1<<j)-1)<=n :因为dp[i][j] 维护的区间是 [i,i+2^j-1] ,所以右端不可以越界
接下来我们来讲解RMQ的查询部分
假设我们需要查询区间[l ,r]中的最小值,令k =
则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
但是为什么这样就可以保证是区间最小值了呢?
dp[l][k]维护的是区间 [l, l + 2^k - 1] , dp[r - (1 << k) + 1][k]维护的是区间 [r - 2^k + 1, r] 。
那么只要我们保证 ≤
就能保证RMQ[l,r] = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k]);
这里你们可以去手推一下
1 int rmq(int l,int r){ 2 int k = log2(r-l+1); 3 return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]); 4 }
这就是倍增RMQ算法,我是以区间最小值为例,区间最大值其实也是一样就不多说了。
当初我是看到这个博客弄懂了倍增RMQ:https://blog.csdn.net/qq_41311604/article/details/79900893