线性无关

  • 当齐次线性方程组只有零解时，则称方程组线性无关
  • 存在不全为零的常数，线性方程组有非零解，则线性相关

线性表示

  • ,则称向量b科欧向量a_1,a_2,...,a_n 表示

性质

  1. 若a_1,a_2,...,a_n线性相关，则其中的一个向量可有其他余向量线性表示；

  2. 若a_1,a_2,...,a_n线性无关，而a_1,a_2..a_n,b线性相关，则b可有a_1,a_2,...,a_n线性表示，且表示方法唯一，

    全秩的线性方程组唯一解

  3. 若一个向量组线性无关，则部分也线性无关

  4. 若一个向量组部分线性相关，则此向量组一定线性相关

  5. 若a_1,a_2,...,a_n线性无关，则

  6. 若一个线性方程组的个数大于维数，则此向量组一定线性相关

  7. 为a_1,a_2,...,a_n的扩充分量的向量组，若a_1,a_2,...,a_n线性无关则线性无关，反正不对

  8. a_1,a_2,...,a_n为两两正交的非零向量组，则a_1,a_2,...,a_n线性无关

向量组的秩

  • 概念
  • a_1,a_2,...,a_n可有b_1,b_2,...,b_n线性表示，则两个向量组等价。
  • 备注：等价的两个向量组所含的向量个数不一定相等，一个向量组和他的极大线性无关组等价
  • 性质：
  1. 矩阵的列向量和行向量秩相等
  2. a_1,a_2,...,a_n可有b_1,b_2,...,b_n线性表示，则A组的秩不超过B组的秩
  3. 等价的向量组有相等的秩，反正不一定。