Green公式的应用：求圆边界图形的面积

其中 $D$ 为平面内一单连通区域， $\partial D$ 为 $D$ 的边界，方向遵从右手螺旋垂直穿出纸面（即逆时针）

取
$图片说明$

$可得， curl(v)=1 等号左端为D的面积。$
$再取 D=circle(T,R),其中T(x_0,y_0)$
$记右边的0→\alpha的部分为I(T,R,\alpha)，\\为辐角在0到\alpha 的部分对整个环路积分的贡献$
$有$

$图片说明$

考虑圆(T,R)上的一段弧AB对整个环路积分的贡献，为 $\\I(T,R,\beta)-I(T,R,\alpha)$

检验上述公式，令 $\\ \alpha=0,\ \beta=2\pi$
得到 $\\ I(T,R,2\pi)\ - \ I(T,R,0)\ =\ \pi R^2$
恰好为圆的面积。

这个问题也可以用于解决一类图形的面积问题。
有一平面图形，它的边界都是圆弧，圆心和半径均已知。
则可用Green公式计算其面积。