力扣：最佳买卖股票时机含冷冻期

题目描述

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
来源 -> 力扣：最佳买卖股票时机含冷冻期

题目分析

1. 状态定义
  我们用 f[i] 表示第 i 天结束之后的「累计最大收益」。根据题目描述，由于我们最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：

• 我们目前持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 ；
• 我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 ；
• 我们目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 。

2. 状态转移

• 对于 ，我们目前持有的这一支股票可以是在第 i−1 天就已经持有的，对应的状态为 ；或者是第 i 天买入的，那么第 i−1 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应的状态为 加上买入股票的负收益 。
  因此状态转移方程为：

• 对于 ，我们在第 i 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票，那么说明在第 i−1 天时我们必须持有一支股票，对应的状态为 加上卖出股票的正收益 。
  因此状态转移方程为：

• 对于 ，我们在第 i 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有进行任何操作，即第 i−1 天时不持有任何股票：如果处于冷冻期，对应的状态为 ; 如果不处于冷冻期，对应状态为 。
  因此状态转移方程为：

3、输出结果
  注意到如果在最后一天（第 n−1 天）结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义的。因此更加精确地，最终的答案实际上是 和 中的较大值，即：

4、代码实现

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int day = prices.length;
        if(day < 2) return 0;
        int[][] f = new int[day][3];
        // f[i][0]: 手上持有股票的最大收益 
        // f[i][1]: 手上不持有股票，并且处于冷冻期中的累计最大收益
        // f[i][2]: 手上不持有股票，并且不在冷冻期中的累计最大收益
        f[0][0] = -prices[0];
        for(int i = 1;i < day;i ++){
            f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0],f[i - 1][2] - prices[i]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + prices[i];
            f[i][2] = Math.max(f[i - 1][1], f[i - 1][2]);
        }
        return Math.max(f[day-1][1],f[day - 1][2]);
    }
}

5、空间优化
  注意到上面的状态转移方程中， 只与 有关，而与 及之前的所有状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态。也就是说，我们只需要将 存放在三个变量中，通过它们计算出 并存回对应的变量，以便于第 i+1 天的状态转移即可。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length == 0) {
            return 0;
        }
        int n = prices.length;
        int f0 = -prices[0];
        int f1 = 0;
        int f2 = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int newf0 = Math.max(f0, f2 - prices[i]);
            int newf1 = f0 + prices[i];
            int newf2 = Math.max(f1, f2);
            f0 = newf0;
            f1 = newf1;
            f2 = newf2;
        }
        return Math.max(f1, f2);
    }
}

参考博文：最佳买卖股票时机含冷冻期