「CQOI2018」九连环

题目背景

略

圆环的装卸需要遵守两个规则:

与魔方的千变万化不同，解九连环的最优策略是唯一的。为简单起见，我们以“四连环”为例，演示这一过程。这里用 $1$ 表示环在“剑”上， $0$ 表示环已经卸下。

初始状态为 1111 ,每步的操作如下:

1101 (根据规则2,卸下第 2 个环)
1100 (根据规则1,卸下第 1 个环)
0100 (根据规则2,卸下第 4 个环)
0101 (根据规则1,装上第 1 个环)
0111 (根据规则2,装上第 2 个环)
0110 (根据规则1,卸下第 1 个环)
0010 (根据规则2,卸下第 3 个环)
0011 (根据规则1,装上第 1 个环)
0001 (根据规则2,卸下第 2 个环)
0000 (根据规则1,卸下第 1 个环)

由此可见，卸下“四连环”至少需要 $10$ 步。随着环数增加，需要的步数也会随之增多。例如卸下九连环，就至少需要 $341$ 步。

请你计算，有 $n$ 个环的情况下，按照规则，全部卸下至少需要多少步。

输入文件第一行，为一个整数 $m$ ，表示测试点数目。

接下来 $m$ 行，每行一个整数 $n$

输出文件共m行，对应每个测试点的计算结果

输入样例

输出样例

5
21
341

对于 $10\%$ 的数据， $1\le n\le 10$

对于 $30\%$ 的数据， $1\le n\le 30$

对于 $100\%$ 的数据， $1\le n\le 10^5,1\le m\le 10$

水题水题

用爆搜简单的打一个表（下面是二进制）

n	1	2	3	4	5	6	7
	1	2	5	10	21	42	85
	1	10	101	1010	10101	101010	1010101

将两个相邻的变量相加

n	`1`+`2`	`2` + `3`	`3` + `4`	`4` + `5`	`5` + `6`	`6` + `7`	`7` + `8`
	11	111	1111	11111	111111	1111111	11111111

所以说

$\begin{aligned}f_n+f_{n+1}&=2^{n+1}-1\\f_n+2f_n+(!n\&1)&=2^{n+1}-1\\f_n&=\lfloor\frac{2^{n+1}}{3} \rfloor\end{aligned}$

接下来我们用快速幂就可以了= =

等等..取模呢QAQ

不取模会崩掉吧

高精会T死（

我们还是老老实实打个FFT吧（，不会的同学可以看看我写的「数学」FFT / DFT / IDFT学习笔记（其实写的很烂）

代码:

比较板......略了

然后就完了吗？

没有

窝之前好像在「数学」FFT / DFT / IDFT学习笔记的开头放了一段AC Code

每次，既然是高精，有是简单的式子为什么还要写FFT呢？Python大法好！

AC Code:

for i in range(int(input())) : print(pow(2, int(input()) + 1) // 3)