解题思路

这是一个完全背包问题的变体，需要解决两个子问题：

  1. 问题分析：

    • 第一问：求背包能装下的最大价值（不要求装满）
    • 第二问：求背包恰好装满时的最大价值（要求装满）
    • 每种物品可以使用无限次

  2. 状态定义：

    • ：容量为j时能装下的最大价值（不要求装满）
    • ：容量为j时恰好装满的最大价值（要求装满）

  3. 与01背包的区别：

    • 完全背包正序遍历容量（因为物品可重复使用）
    • 01背包逆序遍历容量（避免物品重复使用）

  4. 状态转移：

    • 对每个物品 ：
      • 对每个容量 从 到 ：
        • // 不要求装满
        • // 要求装满

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;

int main() {
    int n, V;
    cin >> n >> V;
    
    // 不要求装满的dp数组
    vector<long long> dp1(V + 1, 0);
    // 恰好装满的dp数组
    vector<long long> dp2(V + 1, LLONG_MIN);
    dp2[0] = 0;
    
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        // 完全背包正序遍历
        for(int j = v; j <= V; j++) {
            if(dp1[j-v] != LLONG_MIN)
                dp1[j] = max(dp1[j], dp1[j-v] + w);
            if(dp2[j-v] != LLONG_MIN)
                dp2[j] = max(dp2[j], dp2[j-v] + w);
        }
    }
    
    cout << dp1[V] << endl;
    cout << (dp2[V] == LLONG_MIN ? 0 : dp2[V]) << endl;
    
    return 0;
}

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int V = sc.nextInt();
        
        // 不要求装满的dp数组
        long[] dp1 = new long[V + 1];
        // 恰好装满的dp数组
        long[] dp2 = new long[V + 1];
        Arrays.fill(dp2, Long.MIN_VALUE);
        dp2[0] = 0;
        
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            int v = sc.nextInt();
            int w = sc.nextInt();
            // 完全背包正序遍历
            for(int j = v; j <= V; j++) {
                if(dp1[j-v] != Long.MIN_VALUE)
                    dp1[j] = Math.max(dp1[j], dp1[j-v] + w);
                if(dp2[j-v] != Long.MIN_VALUE)
                    dp2[j] = Math.max(dp2[j], dp2[j-v] + w);
            }
        }
        
        System.out.println(dp1[V]);
        System.out.println(dp2[V] == Long.MIN_VALUE ? 0 : dp2[V]);
        
        sc.close();
    }
}

def solve_knapsack():
    n, V = map(int, input().split())
    
    # 不要求装满的dp数组
    dp1 = [0] * (V + 1)
    # 恰好装满的dp数组
    dp2 = [-float('inf')] * (V + 1)
    dp2[0] = 0
    
    for _ in range(n):
        v, w = map(int, input().split())
        # 完全背包正序遍历
        for j in range(v, V + 1):
            if dp1[j-v] != -float('inf'):
                dp1[j] = max(dp1[j], dp1[j-v] + w)
            if dp2[j-v] != -float('inf'):
                dp2[j] = max(dp2[j], dp2[j-v] + w)
    
    print(dp1[V])
    print(dp2[V] if dp2[V] != -float('inf') else 0)

if __name__ == "__main__":
    solve_knapsack()

算法及复杂度

  • 算法：动态规划（完全背包）
  • 时间复杂度：， 是物品种类数， 是背包容量
  • 空间复杂度：，使用一维 数组