1.1

什么是随机试验，随机试验有哪三个特点？

在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验，用E表示。

  1. 可以在相同的条件下重复地进行;
  2. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果;
  3. 进行一次试验之 前不能确定哪一个结果会出现。

什么是样本点，什么是样本空间？分别举例样本点是有限的、无限的、多维的随机试验的例子，并写出对应的样本空间。

随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。
样本空间的元素，即试验E的每一个结果，称为样本点。

1.2

什么是随机事件？有哪些特殊的随机事件？什么情况下事件发生?

随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件，简称事件。
比如掷骰子，掷出点数1，就是一个事件。
在随机试验结束后发生。

请找出事件的两种关系和三种运算，弄清楚其代表的事件发生的含义，并举例。了解区分互斥事件和互逆事件并分别举例。

  1. 包含关系：若属于事件A的样本点必属于事件B,则称事件B包含事件A,记为图片说明 。同时，事件A称为是事件B的子事件。举例：事件A：系统安装好了JDK。事件B：系统能运行javac指令。那么事件B是事件A。

  2. 等于关系：A等于B：若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A,则称事件A与事件B相等，记作A=B.实例：抛二粒骰子，A=“二粒骰子点数之和为奇数”，B=“二粒骰子的点数为一奇一偶”。

  3. 和事件：事件A∪B={xx∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。当且仅当事件A或事件B至少有一个发生时，则称事件A与事件B的并事件发生，记该事件为AUB。实例：A= “身高不达标”和B=“体重不达标”，和事件：身高体重有其一不合格。

  4. 积事件：A∩B= {x|x∈A且x∈B}称为事件A与事件 B的积事件。当且仅当事件A与事件B同时发生时，则称事件A与事件B的交事件发生，记该事件为A∩B。实例：A= “身高不达标”和B=“体重不达标”，积事件：身高体重都不合格。

  5. A与B的差事件：由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B。实例：“长度合格但直径不合格”是“长度合格”与“直径合格”的差。

1.3

什么是频率，频率的性质？

在相同的条件下，进行了n次试验,在这n次试验中，事件A发生的次数na称为事件A发生的频数.比值na/n称为事件A发生的频率，并记成.

设A是随机试验E的任一事件，则

  3. 若是两两互不相容的事件，则

概率的公理化定义是什么？

对于每一个事件A，若函数 P(A) 满足下列条件，则 P(A) 为 A 的概率：

  1. 非负性，即 P(A) 非负；
  2. 规范性，即必然事件 S 的 P(S)=1；
  3. 可列可加性，即互不相容事件的并集的概率为各事件概率之和。

学习七条概率性质和两条推论，在笔记中记录下你认为最重要的三条概率计算公式。

1.4.1

古典概型具有哪两个特点？根据以上两个特点推导古典概型事件概率计算公式。

  • 有限性（所有可能出现的基本事件只有有限个）
  • 等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）

如果一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为

学习例1-8，从中推导盒中取球、投球入盒及分组问题的概率计算公式。

盒中取球问题：

盒子里有个球，其中个是红球，有放回地取个球，恰有个球的概率是


(二项分布)（贝努里概型）

盒子里有个球，其中个是红球，不放回地取个球，恰有个球的概率是


(超几何分布)

分球入盒：

将n个可分辨的球随机地放入个盒子。求
1)指定的n个盒子各有一球的概率：
2)恰有n个盒子各有一球的概率:

无序分组：

将n个元素随机分成无序的m组，要求每组k个元素，共有方法：

有序分组：

将n个元素随机分成无序的m组，要求第i组恰有个元素，共有方法：

在网络上了解古典概型相关的实际应用例子，比如中奖问题，产品抽样问题等

掷骰子、扔硬币都是古典概型：硬币是质地均匀，形状规范的，哪一面都不会比另一面有更多的出现机会，正面和反面出现的概率是一样的。掷骰子也是一个道理。

1.4.2

什么是几何概型，与古典概型有什么区别？

当随机试验的样本空间是某个区域，并且任意一点落在度量 (长度、面积、体积)相同的子区域是等可能的，并且借助几何上的度量来合理规定的概率成为几何概型。

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果是无限个。

如何计算几何概型事件概率？

，表示样本空间的度量，表示构成事件的子区域的度量

请你举出一个几何概型试验的例子。

在半径为1的圆内任意取两点构成一条弦，求弦长度大于等于 的概率。（Bertrand问题的一种理解）

请思考蒲丰是如何通过投针实验计算圆周率的。平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线，现向此平面任意投掷一根长为b( b<a )的针，试求针与某一平行直线相交的概率，并以此求出圆周率计算公式。

概率，故
图片说明

1.5

什么是条件概率？如何计算条件概率？条件概率有哪些性质？利用条件概率计算上述“已知这个家庭有一个是女孩问这是另一个孩子是男孩的概率是多少”的概率问题。

设A,B是两个事件且，称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

如果事件 B 的概率 P(B) > 0，那么 Q(A) = P(A | B) 在所有事件 A 上所定义的函数 Q 就是概率测度。 如果 P(B) = 0，P(A | B) 没有定义。 条件概率可以用决策树进行计算。

第一个孩子的性别和第二个孩子的性别是独立的。比如有放回地从盒子里取球。所以概率是

什么是乘法定理？如何由条件概率推导得到？

图片说明

可由决策树推导得到。

什么是样本空间的划分？在对样本空间划分（即实验结果分类）的基础上，在笔记本上推导全概率公式和贝叶斯公式。

设S为试验E的样本空间，事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组，它们两两互不相容，其和为全集，则称事件B1、B2、B3…Bn 为样本空间S的一个划分。

全概率公式：如果事件B1、B2、B3…Bn 构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P（Bi)大于0，则对任一事件A有

全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得

贝叶斯公式：两个条件概率之间的关系，比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法则，可以立刻导出：

与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有

Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

1.6

（1）什么是两事件相互独立？了解判定两事件独立的两个定理。

设是两事件,如果满足等式则称事件相互独立,简称独立.

事件与事件相互独立,是指事件的发生与事件发生的概率无关.

（2）什么是n个事件相互独立？注意区分两两独立和n个事件相互独立。

设是三个事件,如果满足等式 则称事件两两相互独立

n个事件相互独立则n个事件两两相互独立，n个事件两两相互独立不一定n个事件相互独立。

（3）思考相互独立事件与互斥事件的区别，填写下表。

A、B互斥 A、B相互独立 A、B、C相互独立
判定公式
概率意义