题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入描述:
输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（）。
接下来的m行是一个的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出描述:
输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
示例1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
34
备注
30%的数据满足：
100%的数据满足：
解答
其实是一个很简单的棋盘形dp，我能想到的有两种做法。
第一种做法是四维dp，这也是最好想的，设f[i][j][k][l]为从小渊传到小轩的纸条到达(i,j)，从小轩传给小渊的纸条到达(k,l)的路径上取得的最大的好心程度和。
完全可以换一个思路想，即求从给定的起点出发走到指定位置的两条最短严格不相交路线。
那么特别显然，转移方程是 。
要小心l的枚举范围，应该是从j+1到m，只有这样，在枚举第二条路的时候可以控制下标的l不会和j有相等的可能，这样可以保证两条路一定不相交（想一想，为什么）
由于终点的值是0，所以目标状态就是。
如果你不想这样做，那就让l直接从1枚举，但需要加一个判断，判断当前的(i,j)和(k,l)是不是重合了，如果重合那就把f数组对应的这个地方在转移后减掉一个a[i][j]或者a[k][l]。
原数据比较弱，这个算法时间复杂度是的，所以可以过。
第二种做法为三维dp，如果这道题数据被加强了一点，那就应该用这个方法。
仔细观察，我们不难发现一个规律，对于每次转移，这两位同学的纸条走的步数总是相等的，也就是应该总有i+j = k+l = step，我们从这里考虑入手，简化一下那个方程。
我们枚举走的步数，同时枚举第一个人和第二个人的横坐标或者纵坐标，对，只枚举一个就好，另一个可以算出来。
我枚举的是横坐标。
但这样做第一维（也就是枚举步数那一维）要开两倍大小（步数最大有n+m-1），并且需要加入判断重合操作。
优化之后速度比上一个快很多，它的时间复杂度是.
法一参考代码：
#include <iostream>
#define maxn 55
using namespace std;
int f[maxn][maxn][maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int n,m;
int max_ele(int a,int b,int c,int d){
if (b>a)
a = b;
if (c>a)
a = c;
if (d>a)
a = d;
return a;
}
int main(){
cin >> n >> m;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
cin >> a[i][j];
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
for (int k=1;k<=n;k++)
for (int l=j+1;l<=m;l++)
f[i][j][k][l]=max_ele(f[i][j-1][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k][l-1],f[i-1][j][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l];
cout << f[n][m-1][n-1][m] << endl;
return 0;
} 法二参考代码：#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define maxn 55
using namespace std;
int f[2 * maxn][maxn][maxn];
int a[maxn][maxn];
int n,m;
int max_ele(int a,int b,int c,int d){
if (b>a)
a = b;
if (c>a)
a = c;
if (d>a)
a = d;
return a;
}
int main(){
cin >> n >> m;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
cin >> a[i][j];
for (int k=1;k<=n+m-1;k++)
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++){
if (k-i+1<1 || k-j+1<1) //这里是判断纵坐标的合法性，如果纵坐标不合法那就跳过去
continue;
f[k][i][j] = max_ele(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j-1],f[k-1][i][j-1],f[k-1][i-1][j]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1];
if (i==j) //判断重合路径
f[k][i][j]-=a[i][k-i+1];
}
cout << f[n+m-1][n][n] << endl;
return 0;
} 
京公网安备 11010502036488号