①直角坐标：

$u_1=x{u}_2=y{u}_3=z$u1​=x u2​=y u3​=z
$h_1=h_2=h_3=1$h1​=h2​=h3​=1

②圆柱坐标：

$u_1=\rho ,u_2=\varphi ,u_3=z$u1​=ρ,u2​=ϕ,u3​=z
$h_1=1,h_2=\rho ,h_3=1$h1​=1,h2​=ρ,h3​=1

③球坐标：（ $\varphi 是2\pi 那个角$ϕ是2π那个角）

$u_1=r,u_2=\theta ,u_3=\varphi$u1​=r,u2​=θ,u3​=ϕ
$h_1=1,h_2=r,h_3=rsin\theta$h1​=1,h2​=r,h3​=rsinθ

然后就有一个统一的矢量场公式：

雅克比行列式

以前只在线性代数中听过这个，但是高数中也有一个

比如 $dxdy=rdrd\theta$dxdy=rdrdθ怎么来的哇？
以前只能用画图来解释，没想到竟然有变换的公式，一直都想有，以为没有，结果真的有。。。
$\{\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ \\ y=y(u,v)\end{array}$⎩⎨⎧​x=x(u,v)y=y(u,v)​

J=∣∣∣∣∣∣​∂u∂x​∂u∂y​​∂v∂x​∂v∂y​​∣∣∣∣∣∣​

$dxdy=\mid J\mid \cdot dudv$dxdy=∣J∣⋅dudv

有了这个公式就知道极坐标这个怎么来的了
$\{\begin{array}{c}x=rcos\theta \\ \\ y=rsin\theta \end{array}$⎩⎨⎧​x=rcosθy=rsinθ​

J=∣∣∣∣∣∣​∂r∂x​∂r∂y​​∂θ∂x​∂θ∂y​​∣∣∣∣∣∣​=∣∣∣∣∣∣​cosθsinθ​−rsinθrcosθ​∣∣∣∣∣∣​=r(cos2θ+sin2θ)=r

$\therefore dxdy=r\cdot drd\theta$∴dxdy=r⋅drdθ