P3389 【模板】高斯消元法

P3389 【模板】高斯消元法

题目：

给定一个线性方程组，对其求解

题解：

还没接触高斯消元时以为是什么神仙算法，接触后发现。。。就是把我们手算线性方程组的方法，写成了代码emm。。。
比如：

x-2y+3z=6
4x-5y+6z=12
7x-8y+10z=21

化为矩阵

1 -2 3 6
4 -5 6 12
7 -8 10 21

如果矩阵是这种形式，那么答案就显而易见了
x=a,y=b,z=cx=a,y=b,z=c

1 0 0 a
0 1 0 b
0 0 1 c

我们一般手算时其实就是朝着这个方向做，高斯消元就是一步步这样走
首先我们将第一列系数绝对值最大的数作为被减数
因为这个系数绝对值最大的方程转移到被减的这一行，这样就可以减小误差
矩阵变为

7 -8 10 21
4 -5 6 12
1 -2 3 6

然后第一行除以7，然后利用加减法将第二行和第三行的第一个系数消去

1 -8/7 10/7 3
0 -3/7 2/7 0
0 -6/7 11/7 3

然后看第二列，同理：

1 0 2/3 3
0 1 -2/3 0
0 0 1 3

用第一行减去第三行×2/3，第二行减去第三行×(-2/3)

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3

答案就是x=1,y=2,y=3，这过程不就是解方程组的过程吗。。emmm
什么时候没答案呢？
当系数矩阵不是单位矩阵时，也就是存在某列系数绝对值最大为0时

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
#define il inline
#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);
using namespace std;
#define maxn 105
#define D double
D a[maxn][maxn];
int n;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(re int j=1;j<=n+1;++j)
        {
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    for(re int i=1;i<=n;++i)//枚举列（项） 
    {
        re int max=i;
        for(re int j=i+1;j<=n;++j)//选出该列最大系数 
        {
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[max][i]))
            //fabs是取浮点数的绝对值的函数
            {
                max=j;
            }
        }
        for(re int j=1;j<=n+1;++j)//交换
        {
            swap(a[i][j],a[max][j]);
        }
        if(!a[i][i])//最大值等于0则说明该列都为0，肯定无解 
        {
            puts("No Solution");
            return 0;
        }
        for(re int j=1;j<=n;++j)//每一项都减去一个数（即加减消元）
        {//对于每一行 
            if(j!=i)
            {
                register double temp=a[j][i]/a[i][i];
                for(re int k=i+1;k<=n+1;++k)//对于第j行的每一列 
                {
                    a[j][k]-=a[i][k]*temp;
                    //a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k]/a[i][i];
                }
            }
        }
    }
    //上述操作结束后，矩阵会变成这样
    /*
    k1*a=e1
    k2*b=e2
    k3*c=e3
    k4*d=e4
    */
    //所以输出的结果要记得除以该项系数，消去常数
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
    }
    return 0;
}