NC13611

题意

一棵有n个结点的树，我们有k种不同颜色的染料给树染色。当且仅当对于所有相同颜色的点对(x,y)，x到y的路径上的所有点的颜色都要与x和y相同时，染色方案是合法的。请统计方案数。

思路

把题目转化为给你一颗n结点的树，将其分成 $i(1\le i\le k)$i (1≤i≤k)个连通块涂上不同的颜色，此时发现染色方案的数量与这棵树的形状无关，仅与k和n有关，将其看为一个点集，每个点集可以涂一种颜色。

1. $DP:f\left[i\right]\left[j\right]=f[i-1]\left[j\right]+f[i-1][j-1]\ast (k-(j-1\left)\right)$DP:f[i][j]=f[i−1][j]+f[i−1][j−1]∗(k−(j−1))

2. 组合数学：分成 $i$i个连通块可看做断 $i-1$i−1条边，则可选边的方案数为C_{n-1}^{i-1}，每一个块可以取的颜色有 $A_k^i$Aki​种，又可以将连通块分为 $i(1\le i\le k)$i (1≤i≤k)块不同颜色，最后总的方案数 ${\sum }_{i=1}^{min(n,k)}{C}_{n-1}^{i-1}{A}_k^i$∑i=1min(n,k)​Cn−1i−1​Aki​

DP

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const double eps = 1e-8;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int INF  = 0x3f3f3f3f;
const ll  mod  = 1e9 + 7;
const ll  maxn = 1e6 + 5;
const int N = 300 + 5;

ll n,k,f[N][N],res;

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>n>>k;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=k;j++){
			f[i][j]=(f[i-1][j]%mod+f[i-1][j-1]*(k-(j-1))%mod)%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;i++){
		res=(res+f[n][i])%mod;
	}
	cout<<res<<'\n';
	return 0;
}

组合数学

下面的代码还可以用一些算法优化求组合数，这里未优化复杂度为 $O\left(n^2\right)$O(n2)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const double eps = 1e-8;
const int NINF = 0xc0c0c0c0;
const int INF  = 0x3f3f3f3f;
const ll  mod  = 1e9 + 7;
const ll  maxn = 1e6 + 5;
const int N = 300 + 5;

ll n,k,res,p=mod;

ll qpow(ll a,ll b){
	ll res=1;
	for(;b>0;b>>=1,a=a*a%mod)
		if(b&1) res=res*a%mod;
	return res;
}

inline ll C(ll n,ll m){
	if(n<m) return 0;//组合数n<m特判
	if(m>n-m) m=n-m;//组合数性质
	ll a=1,b=1;
	for(int i=0;i<m;i++){
		a=a*(n-i)%p;//组合数分子 a 
		b=b*(i+1)%p;//组合数分母 b
	} 
	return a*qpow(b,p-2)%p;//费马小定理 a/b=a*b^(p-2) 
}

inline ll A(ll n,ll m){
	if(n<m) return 0;
	ll a=1;
	for(int i=n-m+1;i<=n;i++){
		a=a*i%p;
	} 
	return a;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=min(n,k);i++){
		res=(res+C(n-1,i-1)*A(k,i)%mod)%mod;
	}
	cout<<res<<'\n';
	return 0;
}