今天开始学习程序的灵魂:数据结构与算法。

本文是自己学习极客时间专栏-数据结构与算法之美后的笔记总结。如有侵权请联系我删除文章。

我们都知道,数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题,即如何让代码运行得更快,如何让代码更省存储空间。所以,执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢?这里就要用到我们今天要讲的内容:时间、空间复杂度分析。

复杂度分析是整个算法学习的精髓,只要掌握了它,数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

1、大O复杂度表示法

算法的执行效率,粗略的说,就是代码的执行时间。但是实际上代码在被CPU执行的时候,是相当快的,这个时间我们也无法计算。所以就抽象出了一个用肉眼能够看到的时间。以例子来分析,看如下一个求和的代码:

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

对于CPU来说,它只知道从内存中取指令与执行指令。所以上述代码,CPU就是一条一条的取指令与执行该指令。现在假设CPU执行每一条的指令的时间都是一样的为:p_time。那么上述代码第二三行执行时间2*p_time,四五六行是一个循环。所以第四五行的执行时间是2n*p_time。所以总的执行时间是: (2n+2)*p_time

可以看到:所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

按照上述思路,我们再来分析以下代码:

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*p_time。

这里我们虽然不知道p_time的具体值,但是很明显,代码的总的执行时间T(n)是与n成正比(这里的正比,不是数学的正比,是随着n的增大,T(n)越来越大)。

我们可以把这种规律,总结成一个规律。此时大O就出现了。

T(n)=O(f(n))

T(n) 表示代码执行的时间;n 表示数据规模的大小;f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式,所以用 f(n) 来表示。公式中的 O,表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以,第一个例子中的 T(n) = O(2n+2),第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。

注意:大O时间复杂度表示法,并不代表代码的真正执行时间,而是代表执行的时间随数据规模增长的一种变化趋势。 简称时间复杂度

为了简化时间复杂度的表示,以及由于一些常数,系数以及量级比较小的项对整体的变化影响不大,所以一般将他们去掉。那么以上两种例子的时间复杂度在简化以后就是:T(n)=O(n)和T(n)=O(n2)。

2、时间复杂度分析

遇到一段代码,如何分析它的时间复杂度。一般有三种方法

2.1 只关注循环次数最多的一段代码

例如如下代码:

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

它的时间复杂度就位:T(n)=O(n)

2.2、加法法则

总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

看如下代码:

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

上述代码中,第一段代码的循环为100次,第二段代码的循环为n次,第三段代码的时间复杂度为n2次。此时,要注意一点,任何常数次循环,都是O(1时间复杂度),不管是100次,10000次,10000000次,只要能看出是一个具体的数字,它都是O(1)时间复杂度。

由总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度。所以上述代码最终时间复杂度为O(n2

结论:
如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

2.3、乘法法则

嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

上面讲了一个复杂度分析中的加法法则,这儿还有一个乘法法则。类比一下,你应该能“猜到”公式是什么样子的吧?

如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

也就是说,假设 T1(n) = O(n),T2(n) = O(n2),则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上,我们可以把乘法法则看成是嵌套循环,举个例子给你解释一下。

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 
 
 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作,那第 4~6 行的时间复杂度就是,T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作,它的时间复杂度是 T2(n) = O(n),所以,整个 cal() 函数的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。

3、几种常见复杂度分析

3.1、O(1)时间复杂度

如果代码中没有循环或者循环的次数是可以确定的常数,那么就是O(1)复杂度

3.2、O(logn) O(nlogn)

看下面的代码:

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

设执行的次数为x,则2x=n。解得x=log2n

再看下面的代码:

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

设执行的次数为x,3x=n。解得x=log3n

实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢?

我们知道,对数之间是可以互相转换的,log3n 就等于 log32 * log2n,所以 O(log3n) = O(C * log2n),其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论:在采用大 O 标记复杂度的时候,可以忽略系数,即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以,O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此,在对数阶时间复杂度的表示方法里,我们忽略对数的“底”,统一表示为 O(logn)。

如果你理解了前面讲的 O(logn),那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得刚讲的乘法法则吗?如果一段代码的时间复杂度是 O(logn),我们循环执行 n 遍,时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且,O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

3.1、O(m+n)、O(m*n)

看如下代码:

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。

4、空间复杂度的分析

前面,花了很长时间讲大 O 表示法和时间复杂度分析,理解了前面讲的内容,空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。

前面我讲过,时间复杂度表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

看如下代码:

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

跟时间复杂度分析一样,我们可以看到,第 2 行代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组,除此之外,剩下的代码都没有占用更多的空间,所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 ),像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且,空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。

5、总结

复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

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