今天开始学习程序的灵魂：数据结构与算法。
本文是自己学习极客时间专栏-数据结构与算法之美后的笔记总结。如有侵权请联系我删除文章。
我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢？这里就要用到我们今天要讲的内容：时间、空间复杂度分析。
复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。
1、大O复杂度表示法
算法的执行效率，粗略的说，就是代码的执行时间。但是实际上代码在被CPU执行的时候，是相当快的，这个时间我们也无法计算。所以就抽象出了一个用肉眼能够看到的时间。以例子来分析，看如下一个求和的代码：
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
对于CPU来说，它只知道从内存中取指令与执行指令。所以上述代码，CPU就是一条一条的取指令与执行该指令。现在假设CPU执行每一条的指令的时间都是一样的为：p_time。那么上述代码第二三行执行时间2*p_time,四五六行是一个循环。所以第四五行的执行时间是2n*p_time。所以总的执行时间是： (2n+2)*p_time
可以看到：所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
按照上述思路，我们再来分析以下代码：
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
整段代码总的执行时间 T(n) = (2n2+2n+3)*p_time。
这里我们虽然不知道p_time的具体值，但是很明显，代码的总的执行时间T（n）是与n成正比（这里的正比，不是数学的正比，是随着n的增大，T（n）越来越大）。
我们可以把这种规律，总结成一个规律。此时大O就出现了。
T（n）=O（f（n））
T(n) 表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。
注意：大O时间复杂度表示法，并不代表代码的真正执行时间，而是代表执行的时间随数据规模增长的一种变化趋势。 简称时间复杂度。
为了简化时间复杂度的表示，以及由于一些常数，系数以及量级比较小的项对整体的变化影响不大，所以一般将他们去掉。那么以上两种例子的时间复杂度在简化以后就是：T（n）=O（n）和T（n）=O（n2）。
2、时间复杂度分析
遇到一段代码，如何分析它的时间复杂度。一般有三种方法
2.1 只关注循环次数最多的一段代码
例如如下代码：
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
它的时间复杂度就位：T（n）=O（n）
2.2、加法法则
总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
看如下代码：
int cal(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
上述代码中，第一段代码的循环为100次，第二段代码的循环为n次，第三段代码的时间复杂度为n2次。此时，要注意一点，任何常数次循环，都是O（1时间复杂度），不管是100次，10000次，10000000次，只要能看出是一个具体的数字，它都是O（1）时间复杂度。
由总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度。所以上述代码最终时间复杂度为O（n2）
结论：
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).
2.3、乘法法则
嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
上面讲了一个复杂度分析中的加法法则，这儿还有一个乘法法则。类比一下，你应该能“猜到”公式是什么样子的吧？
如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).
也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n3)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环，举个例子给你解释一下。
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)。
3、几种常见复杂度分析
3.1、O（1）时间复杂度
如果代码中没有循环或者循环的次数是可以确定的常数，那么就是O（1）复杂度
3.2、O（logn） O（nlogn）
看下面的代码：
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}
设执行的次数为x，则2x=n。解得x=log2n
再看下面的代码：
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}
设执行的次数为x，3x=n。解得x=log3n
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢？
我们知道，对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 * log2n，所以 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。
如果你理解了前面讲的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3.1、O(m+n)、O(m*n)
看如下代码：
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
4、空间复杂度的分析
前面，花了很长时间讲大 O 表示法和时间复杂度分析，理解了前面讲的内容，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。
前面我讲过，时间复杂度表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
看如下代码：
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i <n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = n-1; i >= 0; --i) {
print out a[i]
}
}
跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。
5、总结
复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。
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