题解 | 矩阵的最小路径和

解题思路

这是一个典型的动态规划问题：

$dp[i][j]$ 表示到达位置 $(i,j)$ 的最小路径和
每个位置只能从上方或左方到达
状态转移方程： $dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]$
需要特别处理第一行和第一列，因为它们只能从一个方向到达

代码

c++
java
python

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> matrix(n, vector<int>(m));
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
    
    // 读取矩阵
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        for(int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }
    
    // 初始化dp数组
    dp[0][0] = matrix[0][0];
    // 处理第一行
    for(int j = 1; j < m; j++) {
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j];
    }
    // 处理第一列
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0];
    }
    
    // 动态规划过程
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        for(int j = 1; j < m; j++) {
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j];
        }
    }
    
    cout << dp[n-1][m-1] << endl;
    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();
        int[][] matrix = new int[n][m];
        int[][] dp = new int[n][m];
        
        // 读取矩阵
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = 0; j < m; j++) {
                matrix[i][j] = sc.nextInt();
            }
        }
        
        // 初始化dp数组
        dp[0][0] = matrix[0][0];
        // 处理第一行
        for(int j = 1; j < m; j++) {
            dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j];
        }
        // 处理第一列
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0];
        }
        
        // 动态规划过程
        for(int i = 1; i < n; i++) {
            for(int j = 1; j < m; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j];
            }
        }
        
        System.out.println(dp[n-1][m-1]);
        sc.close();
    }
}

n, m = map(int, input().split())
matrix = []
for _ in range(n):
    matrix.append(list(map(int, input().split())))

dp = [[0] * m for _ in range(n)]
dp[0][0] = matrix[0][0]

# 处理第一行
for j in range(1, m):
    dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]

# 处理第一列
for i in range(1, n):
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]

# 动态规划过程
for i in range(1, n):
    for j in range(1, m):
        dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]

print(dp[n-1][m-1])

算法及复杂度

算法：动态规划
时间复杂度： $\mathcal{O}(nm)$
空间复杂度： $\mathcal{O}(nm)$

关键点说明：

使用二维 $dp$ 数组记录到达每个位置的最小路径和
需要特别处理第一行和第一列的初始化
对于其他位置，取上方和左方的最小值加上当前位置的值
最终 $dp$ 数组的右下角即为所求的最小路径和

注意：这里使用了 $\mathcal{O}(nm)$ 的空间复杂度，如果需要优化空间复杂度，可以使用滚动数组将空间复杂度降至 $\mathcal{O}(m)$ 。