题目主要信息

1、找到其中最长的回文子串长度

2、输入一个字符串（字符串的长度不超过2500）

方法一：动态规划

具体方法

对于一个字符串，如果是回文串，并且长度大于 2，那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍然是个回文串。例如对于字符串 “ababa”，如果我们已经知道“bab” 是回文串，那么“ababa” 一定是回文串，这是因为它的首尾两个字母都是“a”。

P(i,j)P(i,j)表示字符串s的第i到j个字母组成的子串s[i:j]s[i:j]是否为回文串，P(i,j)P(i,j)可能是true也可能是false。

则动态规划的转移方程为：

P(i,j) = P(i+1,j-1) & (Si==Sj)

也就是说，只有s[i+1:j−1] s[i+1:j-1]是回文串，并且 s的第i和 j 个字母相同时，s[i:j]s[i:j]才会是回文串。

Java代码

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String s = bf.readLine();
        System.out.println(longestPalindrome(s).length());
    }
    public static String longestPalindrome(String s) { 
        //长度小于2直接返回
        if (s.length()<2) {
            return s;
        }

        int maxLen = 1;
        int begin = 0;
        // dp[i][j] 表示 s[i..j] 是否是回文串
        int len = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];
        // 初始化：所有长度为 1 的子串都是回文串
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            dp[i][i] = true;
        }

        char[] charArray = s.toCharArray();
        // 递推开始
        // 先枚举子串长度
        for (int L = 2; L <= len; L++) {
            // 枚举左边界，左边界的上限设置可以宽松一些
            for (int i = 0; i < len; i++) {
                // 由 L 和 i 可以确定右边界，即 j - i + 1 = L 得
                int j = L + i - 1;
                // 如果右边界越界，就可以退出当前循环
                if (j >= len) {
                    break;
                }

                if (charArray[i] != charArray[j]) {
                    dp[i][j] = false;
                } else {
                    if (j - i < 3) {
                        dp[i][j] = true;
                    } else {
                        dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                    }
                }
                // 只要 dp[i][L] == true 成立，就表示子串 s[i..L] 是回文，此时记录回文长度和起始位置
                if (dp[i][j] && j - i + 1 > maxLen) {
                    maxLen = j - i + 1;
                    begin = i;
                }
            }
        }
        return s.substring(begin, begin + maxLen);
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n2)O(n^2)，nn 是字符串的长度。
  • 空间复杂度：O(n2)O(n^2)，即存储动态规划状态需要的空间。

方法二：中心拓展法

具体方法

alt 可以发现，所有的状态在转移的时候的可能性都是唯一的。也就是说，我们可以从每一种边界情况开始「扩展」，也可以得出所有的状态对应的答案。

alt

Java代码

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String s = bf.readLine();
        System.out.println(longestPalindrome(s).length());
    }
    public static String longestPalindrome(String s) {
        if (s == null || s.length() < 1) {
            return "";
        }
        int start = 0, end = 0;
        for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
            //找最长的 
            int len1 = Center(s, i, i);
            int len2 = Center(s, i, i + 1);
            int len = Math.max(len1, len2);
            if (len > end - start) {
                start = i - (len - 1) / 2;
                end = i + len / 2;
            }
        }
        return s.substring(start, end + 1);
    }

    public static int Center(String s, int left, int right) {
        while (left >= 0 && right < s.length() && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
            --left;
            ++right;
        }
        return right - left - 1;
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n2)O(n^2)，nn 是字符串的长度。
  • 空间复杂度：O(1)O(1)。