第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

  • 一般的,凡表示未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程
  • 微分方程中,所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶
  • 满足微分方程的函数叫做微分方程的解
  • 如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解
  • 确定微分方程通解中常数的值需要通过初值条件,确定之后就得到微分方程的特解

第二节 可分离变量的微分方程

  • 针对一阶微分方程
    • 如果能写成的形式,称之为可分离变量的微分方程

第三节 齐次方程

  • 针对一阶微分方程
    • 如果能化成的形式,那么称之为齐次方程
  • 对形如的方程,可化为齐次方程,通常用如下变换:
  • 常见的解法是令

第四节 一阶线性微分方程

  • 形如,叫做一阶线性微分方程
    • 如果,称方程为齐次线性方程
    • 如果,称方程为非齐次方程
  • 非齐次方程的解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解
  • 通解的形式:
  • 使用常数变易法来求非齐次线性方程的通解
    • 做法是将通解中的换成未知数的函数,即
  • 注意交叉学科的题目,比如需要了解一下物理学概念
  • 伯努利方程:
    • 两边同时除以
    • 引入新的因变量,令,得

第五节 可降阶的高阶微分方程

    • 连续积分
    • ,转换为一阶微分方程
    • ,转换为一阶微分方程
  • 悬链线

第六节 高阶线性微分方程

  • 两个交叉学科案例
    • 自由/强迫振动的微分方程
    • 串联电路的振荡方程
  • 二阶线性微分方程
    • ,齐次的
    • ,非齐次的
  • 如果函数是二阶齐次线性微分方程的两个解,那么也是该微分方程的解
  • 如果函数是二阶齐次线性微分方程线性无关的两个特解,那么是该微分方程的通解
    • 注意线性无关、线性相关的概念
    • 注意该结论的推论
  • 非齐次方程的解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解
  • 叠加原理
  • 常数变易法

第七节 常系数齐次线性微分方程

  • 二阶常系数齐次线性微分方程,其中是常数
    • 特征方程:,它的解为
      • 时,是两个不相等的实根
      • 时,是两个相等的实根
      • 时,是一对共轭复根
      • 对应微分方程的解为:
  • 欧拉公式:

第八节 常系数非齐次线性微分方程

  • ,其中的一个次多项式,即
    • 特解:,其中:同次的多项式,不是特征方程的根、是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次分别取0、1、2
    • 特解:,其中,次多项式,不是方程的根、方程的根,分别取0、1

第九节 欧拉方程

  • 暂时不做复习

第十节 常系数线性微分方程组解法举例

  • 暂时不做复习