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《高等数学》上册第七章微分方程

1600 浏览 0 回复 2019-12-19

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高等数学·上册

作者：同济大学数学系

第七章微分方程

第一节微分方程的基本概念

一般的，凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程
微分方程中，所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶
满足微分方程的函数叫做微分方程的解
如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解
确定微分方程通解中常数的值需要通过初值条件，确定之后就得到微分方程的特解

第二节可分离变量的微分方程

针对一阶微分方程
- 如果能写成 $g(y)dy = f(x)dx$ 的形式，称之为可分离变量的微分方程

第三节齐次方程

针对一阶微分方程
- 如果能化成 $\frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})$ 的形式，那么称之为齐次方程
对形如的方程，可化为齐次方程，通常用如下变换：
- $x = X + h$
- $y = Y + k$
常见的解法是令 $u = \frac{y}{x}$

第四节一阶线性微分方程

形如，叫做一阶线性微分方程
- 如果 $Q(x) \equiv 0$ ，称方程为齐次线性方程
- 如果 $Q(x) \not\equiv0$ ，称方程为非齐次方程
非齐次方程的解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解
通解的形式： $y = Ce^{-\int{P(x)dx}}, (C = \pm{e^{C_1}})$
使用常数变易法来求非齐次线性方程的通解
- 做法是将通解中的 $C$ 换成未知数 $x$ 的函数 $u(x)$ ，即 $y = u(x)e^{-\int{P(x)dx}}$
注意交叉学科的题目，比如需要了解一下物理学概念
伯努利方程：
- 两边同时除以 $y^{n}$
- 引入新的因变量，令 $z = y^{1-n}$ ，得 $\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)$

第五节可降阶的高阶微分方程

- 连续积分 $n$ 次
- 设 $p = y^{'}$ ，转换为一阶微分方程
- 设 $p = y^{'}$ ，转换为一阶微分方程
悬链线： $y = \frac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}} +e^{-\frac{x}{a}})$

第六节高阶线性微分方程

两个交叉学科案例
- 自由/强迫振动的微分方程
- 串联电路的振荡方程
二阶线性微分方程：
- $f(x) \equiv 0$ ，齐次的
- $f(x) \not\equiv 0$ ，非齐次的
如果函数 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是二阶齐次线性微分方程的两个解，那么 $y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$ 也是该微分方程的解
如果函数和是二阶齐次线性微分方程线性无关的两个特解，那么是该微分方程的通解
- 注意线性无关、线性相关的概念
- 注意该结论的推论
非齐次方程的解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解
叠加原理
常数变易法

第七节常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程：，其中是常数
- 特征方程：，它的解为
  - $p^2-4q > 0$ 时， $r_1, r_2$ 是两个不相等的实根
  - $p^2-4q = 0$ 时， $r_1, r_2$ 是两个相等的实根
  - $p^2-4q < 0$ 时， $r_1, r_2$ 是一对共轭复根
  - 对应微分方程的解为：
    - $y = e^{r_1x}$ ， $y = e^{r_2x}$
    - $y = e^{r_1x}(C_1+C_2x)$
    - $y = e^{ax}(C_1\cos{\beta{x}} + C_2\sin{\beta{x}})$
欧拉公式： $e^{(a+bi)x} = e^{ax}(\cos{x} + i\sin{x})$

第八节常系数非齐次线性微分方程

，其中是的一个次多项式，即
- 特解： $y^* = x^kR_m(x)e^{\lambda{x}}$ ，其中： $R_m(x)是与$ $P(x)_m$ 同次的多项式， $k$ 按 $\lambda$ 不是特征方程的根、是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次分别取0、1、2
- 特解： $y^* = x^ke^{\lambda{x}}[R_m^{(1)}(\cos{\omega{x}} + R_m^{(2)}\sin\omega{x})]$ ，其中， $R_m^{(1)}$ 、 $R_m^{(2)}$ 是 $m$ 次多项式， $m = \max{l,n}$ ， $k$ 按 $\lambda+\omega{i}$ 不是方程的根、是方程的根，分别取0、1

第九节欧拉方程

暂时不做复习

第十节常系数线性微分方程组解法举例

暂时不做复习

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