Codeforces 932G Palindrome Partition

题意

给一个串，划分成k个部分，使得这k个部分整体是回文

题解

转化为 $s_1{s}_n{s}_2{s}_{n-1}...s_{n/2}{s}_{n/2+1}$s1​sn​s2​sn−1​...sn/2​sn/2+1​
变为划分为k个部分，每个部分内部是回文
$dp$dp 方程很好想， $dp\left[i\right]=\sum dp\left[j\right]\ast \left[s\right[j+1,i\left]为回文\right]$dp[i]=∑dp[j]∗[s[j+1,i]为回文]
朴素的做法是暴力跳 $fail$fail，TLE，考虑优化
一个回文串的所有的后缀回文串可以组成不超过 $log$log 个等差数列，所以，整个等差数列一起更新
设一个等差数列为 $a_i{a}_{i-1}{a}_{i-2}...a_1\left(len\right[a_i]\>len[a_{i-1}\left]\right)$ai​ai−1​ai−2​...a1​(len[ai​]>len[ai−1​])
$g\left[i\right]$g[i] 表示从 $i到1$i到1 的和，即 $g\left[i\right]=f[pos-a_i]+f[pos-a_{i-1}]+...+f[pos-a_1]$g[i]=f[pos−ai​]+f[pos−ai−1​]+...+f[pos−a1​]
那么， $f\left[pos\right]$f[pos] 就等于所有的等差数列的首相对应的 $g\left[i\right]$g[i] 的和
下面考虑如何维护 $g\left[i\right]$g[i]

已知 $g\left[3\right]$g[3],考虑如何得出 $g\left[4\right]$g[4] ，发现
$g\left[4\right]=f[k-3^{\prime }]+f[k-2^{\prime }]+f[k-1^{\prime }]+f[k-1^{\prime \prime }]$   g[4]=f[k−3′]+f[k−2′]+f[k−1′]+f[k−1′′]
而 $g\left[3\right]=f[k-3]+f[k-2]+f[k-1]=f[k-3^{\prime }]+f[k-2^{\prime }]+f[k-1^{\prime }]$g[3]=f[k−3]+f[k−2]+f[k−1]           =f[k−3′]+f[k−2′]+f[k−1′]
其中，根据 border 理论(这个不明白的话自己学一下)， $1^{\prime \prime }和1^{\prime }$1′′和1′ 是完全相同的
所以， $g\left[4\right]$g[4]为 $g\left[3\right]$g[3] 的基础上，再加上 $f[k-1^{\prime \prime }]$f[k−1′′] 即可
进一步，可以发现，其实就是每次加上数列的末项！！！
用 $up\left[j\right]$up[j] 表示结点 $j$j 所在数列的末项
$f[k-len[up\left[j\right]]$f[k−len[up[j]] 就是 $f[k-1^{\prime \prime }]$f[k−1′′]
然后在加上 $g\left[fail\right[j\left]\right]$g[fail[j]] 就是更新后的 $g\left[j\right]$g[j] 了，累加到 $f\left[k\right]$f[k] 即可

吐槽：

为什么别人的博客写的那么晦涩，最关键的 $g\left[j\right]$g[j]的更新根本看不懂
全部写成 $f[k-(len\left[fail\right[up\left[j\right]]+diff[j\left]\right)]$f[k−( len[fail[up[j] ]+diff[j] ) ] 根本就是个坑
算了，还是自己太弱了

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6
#define pi 3.141592653589793
#define mod 1000000007
#define P 1000000007
#define LL long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl clear
#define si size
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define bug(x) cerr<<#x<<" : "<<x<<endl
#define mem(x,y) memset(x,0,sizeof(int)*(y+3))
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
using namespace std;
typedef  pair<int,int> pp;
LL ans=0;
LL f[N],g[N];
struct PAM {
    int next[N][26] ;//next指针，next指针和字典树类似，指向的串为当前串两端加上同一个字符构成
    int fail[N] ;//fail指针，失配后跳转到fail指针指向的节点
    int len[N] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度
    int s[N] ;//存放添加的字符
    int last ;//指向上一个字符所在的节点，方便下一次add
    int n ;//字符数组指针
    int p ;//节点指针
    int d[N],up[N],id[N];
    inline int newnode ( int l ) {//新建节点
        for ( int i = 0 ; i < 26 ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;
        len[p] = l ;
        return p ++ ;
    }
    inline void init () {//初始化
        p = 0 ;
        newnode (  0 ) ;
        newnode ( -1 ) ;
        last = 0 ;
        n = 0 ;
        s[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符，减少特判
        fail[0] = 1 ;
    }
    inline int get_fail ( int x ) {//和KMP一样，失配后找一个尽量最长的
        while ( s[n - len[x] - 1] != s[n] ) x = fail[x] ;
        return x ;
    }
    inline void add ( int c,int w ) {
        c -= 'a' ;
        s[++ n] = c ;
        int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置
        if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串
            int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点
            fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ; 
            next[cur][c] = now ;
            d[now]=len[now]-len[fail[now]];
            up[now]=(d[fail[now]]==d[now]?up[fail[now]]:now);
        }
        last = next[cur][c] ;
        id[w]=last;
    }
    void slove(){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=id[i];j;j=fail[up[j]]){//遍历所有i为结尾的回文串，按照等差整块遍历，最多log次
                g[j]=f[i-len[up[j]]];
                if (d[j]==d[fail[j]]) g[j]=(g[j]+g[fail[j]])%mod;
                if (!(i&1)) f[i]=(f[i]+g[j])%mod;
            }
    }
}A;

char s[N];
char ss[N];
int main(int argc, char const *argv[]){
    scanf("%s",s+1);
    int n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i+=2) ss[i]=s[i/2+1];
    for(int i=2;i<=n;i+=2) ss[i]=s[n-i/2+1];
    A.init();   
    for(int i=1;i<=n;i++) A.add(ss[i],i);
    f[0]=1;
    A.slove();  
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}