洛谷 P1883——函数 题解

洛谷 P1883——函数 题解

题目

题目描述

给定 $n$ 个二次函数 $f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x)$（均形如 $a{x}^2+bx+c$），设 $F(x)=\max \{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)\}$，求 $F(x)$ 在区间 $[0,1000]$ 上的最小值。

输入格式

输入第一行为正整数 $T$，表示有 $T$ 组数据。

每组数据第一行一个正整数 $n$，接着 $n$ 行，每行 $3$ 个整数 $a,b,c$，用来表示每个二次函数的 $3$ 个系数，注意二次函数有可能退化成一次。

输出格式

每组数据输出一行，表示 $F(x)$ 的在区间 $[0,1000]$ 上的最小值。答案精确到小数点后四位，四舍五入。

样例 #1

样例输入 #1

2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2

样例输出 #1

0.0000
0.5000

提示

对于 $50\%$ 的数据，$n\le 100$。

对于 $100\%$ 的数据，$T<10$，$n\le 10^4$，$0\le a\le 100$，$|b|\le 5\times 10^3$，$|c|\le 5\times 10^3$。

题目分析

题目目的是求出对于每一个x的取值，所有的f_i（x）(<=i<=n)的值的最大值记为F（x），即 F(x)=max{f₁(x),f₂(x),……，f_n(x));，题目最终要求的是F(x)在[0,1000]的区间内的最小值。

难点

我们知道，函数F(x)在区间内一定具有一个连续的函数图像，但是具体的函数图像单调性并不太清楚，到底是单调增还是减，又或者是抛物线形状，又或者是其他，清楚函数的单调性，决定了我们究竟选用二分法还是三分法来求这个最值。

又由提示可知，a>=0，所以f(x)的函数图像一定是下凹函数或者单调递增递减函数。

接下来，我用一幅图，很清晰的让大家看到函数F(x)的单调性是如何的：

具体的微积分证明不加以阐述

从图中我们不难看出，F(x)函数为下凹函数，所以可以使用三分法来寻找区间内的最大值。

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;
const double eps = 1e-9;     //精度一定要高，不然真的会出事。
int t;                         //eps的类型一定要是double，如果是int的话，死循环GG
int n;
int a[10005];
int b[10005];
int c[10005];
double check(double x) {
   
	double MAX =-(1e+4);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
		MAX = max(MAX, a[i] * x * x + b[i] * x + c[i]);
	}
	return MAX;
}
int main() {
   
	cin >> t;
	while (t--) {
   
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];
		double l = 0.0;
		double r = 1000.0;
		while (r - l > eps) {
   
			double k = (r - l) / 3.0;
			double mid1 = l + k;
			double mid2 = r - k;
			if (check(mid1) > check(mid2))
				l = mid1;
			else
				r = mid2;
		}
		printf("%.4f", l);
	}
	return 0;
}