一、题目描述

有 1000 只水桶，其中有且只有一桶装的含有毒药，其余装的都是水。它们从外观看起来都一样。如果小猪喝了毒药，它会在 15 分钟内死去。

问题来了，如果需要你在一小时内，弄清楚哪只水桶含有毒药，你最少需要多少只猪？

回答这个问题，并为下列的进阶问题编写一个通用算法。

进阶:

假设有 n 只水桶，猪饮水中毒后会在 m 分钟内死亡，你需要多少猪（x）就能在 p 分钟内找出 “有毒” 水桶？这 n 只水桶里有且仅有一只有毒的桶。

提示：

1. 可以允许小猪同时饮用任意数量的桶中的水，并且该过程不需要时间。
2. 小猪喝完水后，必须有 m 分钟的冷却时间。在这段时间里，只允许观察，而不允许继续饮水。
3. 任何给定的桶都可以无限次采样（无限数量的猪）。

二、解题思路 & 代码

本质上在考察数学中的 进制 问题

举例说明：

  • 假设：总时间 minutesToTest = 60，死亡时间 minutesToDie = 15，pow(x, y) 表示 x 的 y 次方，ceil(x)表示 x 向上取整

  • 当前有 1 只小猪，最多可以喝 times = minutesToTest / minutesToDie = 4 次水

  • 最多可以喝 4 次水，能够携带 base = times + 1 = 5 个的信息量，也就是（便于理解从 0 开始）：

  • (1) 喝 0 号死去，0 号桶水有毒
    (2) 喝 1 号死去，1 号桶水有毒
    (3) 喝 2 号死去，2 号桶水有毒
    (4) 喝 3 号死去，3 号桶水有毒
    (5) 喝了上述所有水依然活蹦乱跳，4 号桶水有毒

  • 结论是 1 只小猪最多能够验证 5 桶水中哪只水桶含有毒药，当 buckets ≤ 5 时，answer = 1

  • 那么 2 只小猪可以验证的范围最多到多少呢？我们把每只小猪携带的信息量看成是 base进制数，2 只小猪的信息量就是 pow(base, 2) = pow(5, 2) = 25，所以当 5 ≤ buckets ≤ 25时，anwser = 2

  • 那么可以得到公式关系：pow(base, ans) ≥ buckets，取对数后即为：ans ≥ log(buckets) / log(base)，因为 ans 为整数，所以 ans = ceil(log(buckets) / log(base))

时间复杂度：O(1)

import math

class Solution:
    def poorPigs(self, buckets: int, minutesToDie: int, minutesToTest: int) -> int:
        times = minutesToTest // minutesToDie
        base = times + 1
        # base ^ ans >= buckets 
        # ans >= log(buckets) / log(base)
        ans = math.ceil(log(buckets) / log(base))
        return ans

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(1)
  • 空间复杂度：O(1)

参考：

  1. LeetCode优秀题解