题解 | #[SCOI2011]糖果#

题目描述

幼儿园里有 $NN$ 个小朋友，lxhgww老师现在想要给这些小朋友们分配糖果，要求每个小朋友都要分到糖果。但是小朋友们 也有嫉妒心，总是会提出一些要求，比如小明不希望小红分到的糖果比他的多，于是在分配糖果的时候，lxhgww需要满足小朋友们的 $KK$ 个要求。幼儿园的糖果总是有限的，lxhgww想知道他至少需要准备多少个糖果，才能使得每个小朋友都能够分到糖果，并且满足小朋友们所有的要求。

如果X=1， 表示第A个小朋友分到的糖果必须和第B个小朋友分到的糖果一样多；

如果X=2， 表示第A个小朋友分到的糖果必须少于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=3， 表示第A个小朋友分到的糖果必须不少于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=4， 表示第A个小朋友分到的糖果必须多于第B个小朋友分到的糖果；

如果X=5， 表示第A个小朋友分到的糖果必须不多于第B个小朋友分到的糖果；

思路

差分约束详细讲解

对于差分约束这类问题，主要就是寻找不等式关系，形如 $x_i⩾x_j+c_{k}x\_i\; \backslash geqslant\; x\_j\; +\; c\_k$。 对于本题而言的所有不等式关系如下：

1. 当 $X=1X=1$时，就有 $A=B\iff A⩾B,B⩾AA\; =\; B\; \backslash Leftrightarrow\; A\; \backslash geqslant\; B,\; B\; \backslash geqslant\; A$。就连一条 $B\to A\mathrm{，}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{为}0\mathrm{；}A\to B\mathrm{，}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{为}0B\; \backslash rightarrow\; A，\; 边权为0；A\; \backslash rightarrow\; B，边权为0$；
2. 当 $X=2X=2$时，就有 。就连一条 $A\to B\mathrm{，}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{为}1A\; \backslash rightarrow\; B，\; 边权为1$；
3. 当 $X=3X=3$时，就有 $A⩾B\iff A⩾BA\; \backslash geqslant\; B\; \backslash Leftrightarrow\; A\; \backslash geqslant\; B$。就连一条 $B\to A\mathrm{，}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{为}0B\; \backslash rightarrow\; A，边权为0$；
4. 当 $X=4X=4$时，就有 $A>B\iff A⩾B+1A\; >\; B\; \backslash Leftrightarrow\; A\; \backslash geqslant\; B\; +\; 1$。就连一条 $B\ge A\mathrm{，}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{为}1B\; \backslash geq\; A，边权为1$；
5. 当 $X=5X=5$时，就有 $A\le B\iff B⩾AA\; \backslash leq\; B\; \backslash Leftrightarrow\; B\; \backslash geqslant\; A$。就连一条 $A\to B\mathrm{，}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{为}0A\; \backslash rightarrow\; B，\; 边权为0$；
6. 要求每个小朋友都要分到糖果，也就形如 $x_i>=1x\_i\; >=\; 1$，可以假想一个虚拟原点，即 $x_i\ge x_0+1x\_i\; \backslash geq\; x\_0\; +\; 1$。就连一条$0\to i\mathrm{，}\mathrm{边}\mathrm{权}\mathrm{为}10\; \backslash rightarrow\; i，边权为1$。

AC代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 100010, M = N * 3;

int n, m;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
LL dist[N];
int q[N], cnt[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    memset(dist, -0x3f, sizeof dist);
    dist[0] = 0;
    int tt = 1;
    q[0] = 0, st[0] = true;

    while (tt)
    {
        int t = q[ -- tt];
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n + 1) return false;
                if (!st[j])
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int x, a, b;
        scanf("%d%d%d", &x, &a, &b);
        if (x == 1) add(a, b, 0), add(b, a, 0);
        else if (x == 2) add(a, b, 1);
        else if (x == 3) add(b, a, 0);
        else if (x == 4) add(b, a, 1);
        else add(a, b, 0);
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) add(0, i, 1);

    if (!spfa()) puts("-1");
    else 
    {
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += dist[i];
        printf("%lld\n", res);
    }

    return 0;
}