二分图匹配

• 最大匹配=最小点集
• 最大独立集=最小边集(最小路径覆盖)=|V|-最大匹配

匈牙利算法

struct edge{int u,v;edge *next;}*head[N],e[N];
void add(int u,int v){
    edge *p=&e[cnt++];
    p->u=u;p->v=v;p->next=head[u];head[u]=p;
}
bool dfs(int u){
    vis[u]=1;
    for(edge *p=head[u];p;p=p->next){
        if(!vis[p->v]){
            vis[p->v]=1;
            if(!y[p->v]||dfs(y[p->v])){// 如果u->v 可以连标记 或者回溯到y[v]连的连其他的路
                x[u]=p->v;y[p->v]=u;//找增广路
                return true;
            }
        }
    }return false;
}

KM算法

#include<bits/stdc++.h>
#define me(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int mod=1e9+7;
const int N=2e3+5;
const int MAX=0x7fffffff;
const int MIN=0x80000000;
int nx,ny;
int w[N][N],lx[N],ly[N];
bool sx[N],sy[N];
int match[N][N];
bool dfs(int u){
    sx[u]=true;
    for(int v=0;v<ny;v++){
        int d=lx[u]+ly[v]-w[u][v];
        if(!sy[v]&&!d){
            sy[v]=true;
            if(match[v]==-1||dfs(match[v])){
                match[v]=u;return true;
            }
        }
    }return false;
}
int KM(){
    for(int i=0;i<nx;i++){
        ly[i]=lx[i]=0;
        for(int j=0;j<ny;j++)lx[i]=max(lx[i],w[i][j]);
    }
    me(match,-1);
    for(int u=0;u<nx;u++){
        while(true){
            me(sx,0),me(sy,0);
            if(dfs(u))break;
            int dis=MAX;
            for(int i=0;i<nx;i++){
                if(sx[i]){
                    for(int j=0;j<ny;j++){
                        if(!sy[j]){
                            dis=min(dis,lx[i]+ly[j]-w[i][j]);
                        }
                    }
                }
            }
            if(dis==0)continue;
            if(dis==MAX)return -1;
            for(int i=0;i<nx;i++){
                if(sx[i])lx[i]-=dis;
            }
            for(int i=0;i<ny;i++){
                if(sy[i])ly[i]+=dis;
            }
        }
    }
    int sum=0;
    for(int i=0;i<ny;i++){
        if(match[i]>=0)sum+=w[match[i]][i];
    }return sum;
}