定义：
一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。
推导：
一.递推
首先将第一个元素错排，假设将第一个元素放到第k位，那么对于第k位的元素，有两种情况
1.k放在第1位，此时相当于对处第1位与第k位的n-2个元素错排，方案数D（n-2）
2.k不放在第1位，此时可以看做将第k位与第1位交换，对除第k位以外的元素进行错排，方案数D（n-1）
考虑k有n-1种选择，递推式为

<nobr> D(n)=(n−1)(D(n−1)+D(n−2)) </nobr>

二.容斥
对于1-n的任意排列，方案数n！种，对于至少有1个元素在正确位置的，方案数（n-1）！,依次类推可得
<nobr> D(i)=∑i=0n(−1)iCin(n−i)!=∑i=0n(−1)in!i! </nobr>

对于n=1,f(1)=0
对于n>1,归纳
<nobr> D(i)=∑i=0n(−1)in!i!=n∗∑i=0n−1(−1)i(n−1)!i!+(−1)n∗n!n!=D(i−1)∗i+(−1)i </nobr>

不完全错排：
1-n任意排列，恰有m个数在它们各自对应的位置上，满足条件的排列的方案数
对于放对位置的m个数，位置已经确定，剩余n-m个数放置的方案数为D（n-m），考虑m个数随便选，最终答案 <nobr> CmnD(n−m) </nobr>