2021-1-3
第一章 复数与复变函数
代数基本定理：
任何多项式在复数域里必有根，而且 n 次多项式恰好有 n 个根
§1.1 复数
一、复数及其运算
定义：
(1) 设 x 和 y 是任意两个实数， z = x + i y z=x+iy z=x+iy ( 或者 z = x + y i z=x+yi z=x+yi ) 的数称为复数。其中 i i i 称为虚数单位，即 i = − 1 i = \sqrt{-1} i=−1
(2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为： x = R e ( z ) x = Re(z) x=Re(z) , y = I m ( z ) y = Im(z) y=Im(z)
(3) 当 x = 0 时，z = 0 + iy = iy 称为纯虚数
当 y = 0 时，z = x + i0 = x 就是实数。因此，实数可以看作是复数的特殊情形。
复数的基本概念
相等
设 z 1 = x 1 + i y 1 z_1 = x_1 + i y_1 z1=x1+iy1 与 z 2 = x 2 + i y 2 z_2 = x_2 + i y_2 z2=x2+iy2 是两个复数
如果 x 1 = x 2 x_1 = x_2 x1=x2 与 y 1 = y 2 y_1 = y_2 y1=y2 相等， 则称 z 1 z_1 z1与 z 2 z_2 z2 相等
它们之间只有相等与不相等的关系。
特别地， z = x + i y = 0 z = x + i y = 0 z=x+iy=0 当且仅当 x = y = 0 x = y = 0 x=y=0.
注：复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小，它们之间只有相等与不相等的关系。
四则运算
加法： z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i ( y 1 + y 2 ) z_1 + z_2 = x_1 + x_2 + i( y_1 + y_2 ) z1+z2=x1+x2+i(y1+y2);
减法： z 1 − z 2 = x 1 − x 2 + i ( y 1 − y 2 ) z_1 − z_2 = x_1 − x_2 + i( y_1 − y_2 ) z1−z2=x1−x2+i(y1−y2)；
乘法： z 1 ⋅ z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z_1· z_2 = (x_1 x_2 − y_1 y_2 ) + i(x_1 y_2 + x_2 y_1 ) z1⋅z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1);
除法 ：如果存在复数 z z z，使得 z 1 = z 2 ⋅ z z_1 = z_2 ·z z1=z2⋅z，则 z = z 1 z 2 z=\frac{z_1}{z_2} z=z2z1。
加法、乘法满***换律与结合律，乘法对加法满足分配律．由此可知，在实数域里由这些规律推得的恒等式在复数里仍然有效．另外，还可以验证：复数集关于四则运算是封闭的，其代数结构是域。
交换律、结合律、分配率
二、共轭复数
定义
设 z = x + i y z = x + i y z=x+iy 是一个复数，
称 z = x − i y z = x - i y z=x−iy 为 z z z 的共轭复数，记作 z ‾ \overline{z} z。
称 x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2 (算术根)为复数 z z z 的模，记作 ∣ z ∣ |z| ∣z∣ = x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2．
性质
§1.2 复数的几种表示
复平面
用建立了笛卡儿直角坐标系的平面来表示复数的平面称为复平面．复平面赋予了复数以直观的几何意义，复数的数对表示式也可以看作是直角坐标系中的坐标.它建立了“数”与“点”之间的一一对应关系．此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴
把复数 1 + 2 i 1+ 2i 1+2i 称为点 1 + 2 i 1+ 2i 1+2i ，把点 4 + i 4+ i 4+i 称为复数 4 + i 4+ i 4+i ．
在复平面上，从原点到点 z = x + i y z = x + i y z=x+iy 所引的向量与该复数 z 也构成一一对应关系(复数零对应零向量)。
引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。
一、复数的模与辐角
称 x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2 (算术根)为复数 z z z 的模，记作 ∣ z ∣ |z| ∣z∣ = x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2．
(1) 辐角是多值的，相互之间可相差 2kπ ,其中 k 为整数。
(2) 辐角的符号约定为：逆时针取正号，顺时针取负号。
复数 0 的模为 0，辐角无意义。
主辐角
Arg z = arg z + 2kπ , k = 0, ± 1, ± 2,……
相互转换关系
三减二加，一四不变
二、复数的三角表示和指数表示
三角表示式
指数表示式
利用指数表示进行复数的乘除法运算
简单复数的指数表示形式
三、复数的乘幂与方根
复数的乘幂
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则：
棣莫弗(De Moivre)公式
复数的方根
定义：
复数求方根是复数乘幂的逆运算
复数的 n 次方根一般是多值的
利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则：
方根公式
在复平面上， 这 n 个根均匀地分布在一个以原点为中心、以 r n \sqrt[n]{r} nr 为半径的圆周上。其中一个根的辐角是 ( θ / n ) (θ/n) (θ/n).
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