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二叉树的遍历

0. 树的表示

typedef struct TreeNode *BinTree;
struct TreeNode{
	int Data;  // 存值 
	BinTree Left;    // 左儿子结点 
	BinTree Right;   // 右儿子结点 
};

1. 先序遍历

遍历过程：

  1. 访问根结点
  2. 先序遍历其左子树
  3. 先序遍历其右子树

1. 递归实现

void  PreOrderTraversal(BinTree BT){
	if(BT){
		printf("%d",BT->Data);  // 打印根 
		PreOrderTraversal(BT->Left);  // 进入左子树 
		PreOrderTraversal(BT->Right);  // 进入右子树 
	}
}

2. 非递归实现

void PreOrderTraversal(BinTree BT){
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreateStack();  // 创建并初始化堆栈 S
	while(T || !IsEmpty(S)){  // 当树不为空或堆栈不空 
		while(T){     
			Push(S,T);    // 压栈，第一次遇到该结点 
			printf("%d",T->Data);  // 访问结点
			T = T->Left;   // 遍历左子树 
		}
		if(!IsEmpty(S)){  // 当堆栈不空 
			T = Pop(S);    // 出栈，第二次遇到该结点 
			T = T->Right;  // 访问右结点 
		}
	} 
}

2. 中序遍历

递归过程：

  1. 中序遍历其左子树
  2. 访问根结点
  3. 中序遍历其右子树

1. 递归实现

void InOrderTraversal(BinTree BT){
	if(BT){
		InOrderTraversal(BT->Left);  // 进入左子树 
		printf("%d",BT->Data);  // 打印根 
		InOrderTraversal(BT->Right);  // 进入右子树 
	} 
}

2. 非递归实现

void InOrderTraversal(BinTree BT){
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreateStack();  // 创建并初始化堆栈 S
	while(T || !IsEmpty(S)){  // 当树不为空或堆栈不空 
		while(T){     
			Push(S,T);    // 压栈
			T = T->Left;   // 遍历左子树 
		}
		if(!IsEmpty(S)){  // 当堆栈不空 
			T = Pop(S);    // 出栈
			printf("%d",T->Data);  // 访问结点
			T = T->Right;  // 访问右结点 
		}
	} 
}

3. 后序遍历

遍历过程：

  1. 后序遍历其左子树
  2. 后序遍历其右子树
  3. 访问根结点

1. 递归实现

void PostOrderTraversal(BinTree BT){
	if(BT){
		PostOrderTraversal(BT->Left);  // 进入左子树 
		PostOrderTraversal(BT->Right);  // 进入右子树 
		printf("%d",BT->Data);  // 打印根 
	} 
}

2. 非递归实现

void PostOrderTraversal(BinTree BT){
	BinTree T = BT;
	Stack S = CreateStack();  // 创建并初始化堆栈 S
	vector<BinTree> v;   // 创建存储树结点的动态数组
	Push(S,T);
	while(!IsEmpty(S)){  // 当树不为空或堆栈不空 
		T = Pop(S);
		v.push_back(T);  // 出栈元素进数组
		if(T->Left)
			Push(S,T->Left);
		if(T->Right)
			Push(S,T->Right);
	}
	reverse(v.begin(),v.end());  // 逆转 
	for(int i=0;i<v.size();i++)  // 输出数组元素
		printf("%d",v[i]->Data);
}

4. 总结

先序、中序和后序遍历过程：遍历过程中经过结点的路线一样，只是访问各结点的时机不同，即：

  • 先序遍历是第一次"遇到"该结点时访问
  • 中序遍历是第二次"遇到"该结点（此时该结点从左子树返回）时访问
  • 后序遍历是第三次"遇到"该结点（此时该结点从右子树返回）时访问

5. 层序遍历

遍历过程：从上至下，从左至右访问所有结点

队列实现过程：

  1. 根结点入队
  2. 从队列中取出一个元素
  3. 访问该元素所指结点
  4. 若该元素所指结点的左孩子结点非空，左孩子结点入队
  5. 若该元素所指结点的右孩子结点非空，右孩子结点入队
  6. 循环 1 - 4，直到队列中为空
void LevelOrderTraversal(BinTree BT){
	queue<BinTree> q;   // 创建队列
	BinTree T;
	if(!BT)
		return;
	q.push(BT);  // BT 入队 
	while(!q.empty()){
		T = q.front();  // 访问队首元素 
		q.pop();  // 出队
		printf("%d",T->Data);
		if(T->Left)  // 如果存在左儿子结点
			q.push(T->Left);  // 入队
	 	if(T->Right)
	 		q.push(T->Right);
	}
}

6. 例子

1. 输出叶子结点

前序遍历加个没有孩子结点的约束即可

void  FindLeaves(BinTree BT){
	if(BT){
		if( !BT->Left && !BT->Right)
			printf("%d",BT->Data);  // 打印叶子结点
		FindLeaves(BT->Left);  // 进入左子树 
		FindLeaves(BT->Right);  // 进入右子树 
	}
}

2. 树的高度

当前树的高度为其子树最大高度 +1

int  GetHeight(BinTree BT){
	int hl,hr,maxh;
	if(BT){
		hl = GetHeight(BT->Left);  // 求左子树高度 
		hr = GetHeight(BT->Right);  // 求右子树高度 
		maxh = (hl>hr)?hl:hr;
		return maxh+1;  // 当前结点高度为左右子树最大的高度+1 
	}else
		return 0;
}

3. 由两种遍历序***定二叉树

前提：有一种序列必须是中序！

方法：

  1. 根据先序（或后序）遍历序列第一个（或最后一个）结点确定根结点
  2. 根据根结点在中序序列中分割出左右两个子序列
  3. 对左子树和右子树分别递归使用同样的方法继续分解

例如：

前序：ABCDEFG
中序：CBDAFEG

先序遍历为"根左右"，则 A 是根，对应可以划分出中序中：(CBD)A(FEG)，CBD 为左子树，FEG 为右子树，再根据前序的 BCD，B 为根，划分出中序中 (C(B)D)A(FEG)，则 C D 分别是 B 的左右子树…最后可得树为：

                        A
                       /  \
                      B    E
                     / \  / \
                    C   D F  G