1.逆元（Inverse element）

定义：对于正整数a和m，如果有a⋅x≡1(mod  m)，那么把这个同余方程中x的最小正整数解叫做a模m的逆元。

应用：当计算（a/b）% m时不能直接算（double）%（int），要转化成（a*c）%m，其中c是b的逆元

证明如下：

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);

即a/b的模等于a*（b的逆元）的模；

奇技淫巧：

2.逆元的求解方法---b*c≡1(mod m)，b，m已知，求c

注意：b和m只有值互质的情况下才存在逆元

（1）扩展欧几里得算法（O(log b)）-----适用条件：存在逆元即可

typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
ll getInv(int a,int mod)//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1 
{
    ll x,y;
    ll d=exgcd(a,mod,x,y);
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;
}

(2)费马小定理（O(log m)）-----存在逆元且m是素数

typedef long long ll;
ll qkpow(ll a,ll p,ll mod)
{
    ll t=1,tt=a%mod;
    while(p)
    {
        if(p&1)t=t*tt%mod;
        tt=tt*tt%mod;
        p>>=1;
    }
    return t;
}
ll getInv(ll a,ll mod)
{
    return qkpow(a,mod-2,mod);
}

[参考博客]:

https://blog.csdn.net/xiaoming_p/article/details/79644386

https://blog.csdn.net/slongle_amazing/article/details/50669001

https://www.cnblogs.com/shawn-ji/p/5674772.html