【生物】分类（洛谷跨年夜场E题）（树换根+树剖）

【生物】分类

这场比赛拿了个B题一血，舒服！

题意：模板题

给定一张连通图，求出以1为根的最小生成树（然后就跟图没啥关系了）。
对于这棵生成树，有3种操作+3中询问：

更换根节点
树上 $x$ 到 $y$ 的最短路径上的点权加 $d$
树上 $x$ 所在子树所有节点点权加 $d$
求 $x$ 和 $y$ 的 $L C A$
求 $x$ 到 $y$ 的最短路径上的点权之和
求 $x$ 所在子树所有节点点权之和

思路：关键在于换根以及求 $l c a$

这个换根想了挺久都没有想法，实在没有正确复杂度的操作，真是太菜！
于是百度了一下，发现换根是种传统操作（板子），实际处理方法就是换根但不换树剖的信息！
（前置知识：树剖，并且树剖的同时记录 $d f s$ 序的 $i d_{l e f t}$ 和 $i d_{r i g h t}$ ）（以下所有“子树”是指在以1为根的树中）

换根
直接用一个 $r o o t$ 记录当前根节点即可，就这么简单！当然这里方便了后面就会麻烦一些。
树上 $x$ 到 $y$ 的最短路径上的点权加 $d$
由于树上最短路径与根是哪个点无关，因此正常的做就好了。
树上 $x$ 所在子树所有节点点权加 $d$
考虑两种情况+一种特判：
- 特判：若 $x = r o o t$ ，那直接整棵树加 $d$
- $r o o t$ 不在 $x$ 子树中，则显然根具体是哪个点不会影响这棵子树
- $r o o t$ 在 $x$ 子树中，此时这棵子树会发生变化，真正的子树变成了属于以当前点向“上”的树，具体而言就是整棵树去掉原子树中 $r o o t$ 所在的“树枝”后都是“ $x$ 所在的子树”。
  然后问题就变成了如何找到这个“树枝”，我这里采用的倍增法，从 $r o o t$ 倍增跳 $f a t h e r$ ，跳到刚好是 $x$ 的直接儿子即可，复杂度 $O (l o g_{2} n)$
求 $x$ 和 $y$ 的 $L C A$
这是本题难点，有不止一种方法，自认为我这方法挺不错（题解方法分类太多了），嘿嘿
- 若 $x$ 和 $y$ 都属于原 $r o o t$ 子树，则返回原 $l c a$ 即可（很显然啦）
- 若一个属于，一个不属于，则 $l c a$ 就是 $r o o t$ ，因为它夹在中间了
- 若两个都不属于则分两种情况：
  - 先考虑以二者的 $l c a$ 为根的原子树是否包含 $r o o t$ ，若不包含，则显然返回 $l c a$ 即可
  - 剩下的就是不包含的情况，我们将 $x$ 和 $y$ 分别用倍增跳 $f a t h e r$ ，都跳到刚好使 $r o o t$ 在当前原子树中即可，然后将最后的 $x$ 和 $y$ 取深度较大的（为了更接近 $r o o t$ ）
求 $x$ 到 $y$ 的最短路径上的点权之和
同2，树上最短路径与根是哪个点无关
求 $x$ 所在子树所有节点点权之和
同3，考虑两种情况+一种特判即可。

Ok, all right! 此题不失为一道换根+树剖板子好题！复杂度目测为 $O (n l o g_{2}^{2} n)$ ，集中在树剖+线段树区间操作处，已忽略一开始的MST复杂度。

代码

#include "bits/stdc++.h"
#define hhh printf("hhh\n")
#define see(x) (cerr<<(#x)<<'='<<(x)<<endl)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pr;
inline int read() {int x=0,f=1;char c=getchar();while(c!='-'&&(c<'0'||c>'9'))c=getchar();if(c=='-')f=-1,c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();return f*x;}

const int maxn = 3e5+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;

struct Edge{
    int u, v, w, id;
    bool operator < (const Edge &rhs) const {
        if(w==rhs.w) return id<rhs.id;
        return w<rhs.w;
    }
}e[maxn*2];

int n, m, r, root=1;
int a[maxn], belong[maxn];
int head[maxn], to[maxn*2], nxt[maxn*2], tot;
int lid[maxn], rid[maxn], rk[maxn], ID;
int son[maxn], top[maxn], sz[maxn], deep[maxn];
int fa[maxn], st[maxn][20];

int find(int a) { return a==belong[a]?a:belong[a]=find(belong[a]); }

inline void add_edge(int u, int v) {
    ++tot; to[tot]=v; nxt[tot]=head[u]; head[u]=tot;
    ++tot; to[tot]=u; nxt[tot]=head[v]; head[v]=tot;
}

void dfs0(int u, int f, int d) {
    fa[u]=f; sz[u]=1; deep[u]=d;
    for(int i=head[u]; i; i=nxt[i]) {
        int v=to[i]; if(v==f) continue;
        dfs0(v,u,d+1); sz[u]+=sz[v];
        if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;
    }
}

void dfs(int u, int f, int t) {
    rk[lid[u]=++ID]=u; top[u]=t;
    if(son[u]) dfs(son[u],u,t);
    for(int i=head[u]; i; i=nxt[i]) {
        int v=to[i]; if(v==f||v==son[u]) continue;
        dfs(v,u,v);
    }
    rid[u]=ID;
}

ll node[maxn<<2], lazy[maxn<<2];

void build(int l, int r, int now) {
    if(l==r) {
        node[now]=a[rk[l]];
        return;
    }
    int m=(l+r)/2;
    build(l,m,now<<1); build(m+1,r,now<<1|1);
    node[now]=node[now<<1]+node[now<<1|1];
}

void push_down(int l, int r, int now) {
    ll &d=lazy[now], m=(l+r)/2;
    node[now<<1]+=ll(m-l+1)*d; lazy[now<<1]+=d;
    node[now<<1|1]+=ll(r-m)*d; lazy[now<<1|1]+=d;
    d=0;
}

void update(int x, int y, int d, int l, int r, int now) {
    if(x>y) return;
    if(x<=l&&r<=y) {
        node[now]+=ll(r-l+1)*d;
        lazy[now]+=d;
        return;
    }
    if(lazy[now]) push_down(l,r,now);
    int m=(l+r)/2;
    if(x<=m) update(x,y,d,l,m,now<<1);
    if(y>m) update(x,y,d,m+1,r,now<<1|1);
    node[now]=node[now<<1]+node[now<<1|1];
}

ll query(int x, int y, int l, int r, int now) {
    if(x>y) return 0;
    if(x<=l&&r<=y) return node[now];
    if(lazy[now]) push_down(l,r,now);
    int m=(l+r)/2;
    ll ans=0;
    if(x<=m) ans+=query(x,y,l,m,now<<1);
    if(y>m) ans+=query(x,y,m+1,r,now<<1|1);
    return ans;
}

int lca(int x, int y) {
    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    for(int i=19; i>=0; --i) if(deep[st[x][i]]>=deep[y]) x=st[x][i];
    if(x==y) return x;
    for(int i=19; i>=0; --i) if(st[x][i]!=st[y][i]) x=st[x][i], y=st[y][i];
    return fa[x];
}

bool contain(int x, int r) {
    return lid[r]<=lid[x]&&lid[x]<=rid[r];
}

void add_xyd(int x, int y, int d) {
    while(top[x]!=top[y]) {
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
        update(lid[top[x]],lid[x],d,1,n,1); x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    update(lid[y],lid[x],d,1,n,1);
}

void add_xd(int x, int d) {
    if(root==x) update(1,n,d,1,n,1);
    else if(!contain(root,x)) update(lid[x],rid[x],d,1,n,1);
    else {
        int r=root;
        for(int i=19; i>=0; --i) if(deep[st[r][i]]>deep[x]) r=st[r][i];
        update(1,lid[r]-1,d,1,n,1);
        update(rid[r]+1,n,d,1,n,1);
    }
}

int get_lca(int x, int y) {
    int cas=contain(x,root)+contain(y,root);
    if(cas==2) return lca(x,y);
    if(cas==1) return root;
    int LCA=lca(x,y);
    if(!contain(root,LCA)) return LCA;
    for(int i=19; i>=0; --i) {
        if(st[x][i]&&!contain(root,st[x][i])) x=st[x][i];
        if(st[y][i]&&!contain(root,st[y][i])) y=st[y][i];
    }
    if(!contain(root,x)) x=fa[x];
    if(!contain(root,y)) y=fa[y];
    return deep[x]>=deep[y]?x:y;
}

ll sum_xy(int x, int y) {
    ll ans=0;
    while(top[x]!=top[y]) {
        if(deep[top[x]]<deep[top[y]]) swap(x,y);
        ans+=query(lid[top[x]],lid[x],1,n,1); x=fa[top[x]];
    }
    if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    ans+=query(lid[y],lid[x],1,n,1);
    return ans;
}

ll sum_x(int x) {
    if(root==x) return node[1];
    if(!contain(root,x)) return query(lid[x],rid[x],1,n,1);
    int r=root;
    for(int i=19; i>=0; --i) if(deep[st[r][i]]>deep[x]) r=st[r][i];
    return query(1,lid[r]-1,1,n,1)+query(rid[r]+1,n,1,n,1);
}

int main() {
    //freopen("testin", "r", stdin);
    //freopen("testout", "w", stdout);
    n=read(), m=read(), r=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i) a[i]=read(), belong[i]=i;
    for(int i=1; i<=r; ++i) {
        int u=read(), v=read(), w=read();
        e[i]=(Edge){u,v,w,i};
    }
    sort(e+1,e+1+r);
    for(int i=1; i<=r; ++i) {
        int x=find(e[i].u);
        int y=find(e[i].v);
        if(x!=y) belong[x]=y, add_edge(e[i].u,e[i].v);
    }
    dfs0(1,0,1);
    dfs(1,0,1);
    for(int j=0; j<=19; ++j) {
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            if(!j) st[i][j]=fa[i];
            else st[i][j]=st[st[i][j-1]][j-1];
    }
    build(1,n,1);
    while(m--) {
        int op=read();
        if(op==1) root=read();
        else if(op==2) {
            int x=read(), y=read(), d=read();
            add_xyd(x,y,d);
        }
        else if(op==3) {
            int x=read(), d=read();
            add_xd(x,d);
        }
        else if(op==4) {
            int LCA=get_lca(read(),read());
            printf("%lld\n", query(lid[LCA],lid[LCA],1,n,1));
        }
        else if(op==5) printf("%lld\n", sum_xy(read(),read()));
        else if(op==6) printf("%lld\n", sum_x(read()));
    }
}

出题人题解链接

他的 $l c a$ 分类确实比我麻烦些。