解题思路

这是一个求最长回文子序列的问题，可以通过动态规划来解决：

  1. 定义 表示字符串 在区间 内的最长回文子序列长度
  2. 状态转移方程：
    • 当 时：
    • 当 时：
  3. 初始条件：
    • 当 时，（单个字符是回文）
  4. 最终答案是

代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

int longestPalindromeSubseq(string s) {
    int n = s.length();
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
    
    // 初始化单个字符的情况
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i][i] = 1;
    }
    
    // 从长度2开始计算
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int i = 0; i < n - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            if (s[i] == s[j]) {
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    
    return dp[0][n-1];
}

int main() {
    string s;
    cin >> s;
    cout << longestPalindromeSubseq(s) << endl;
    return 0;
}

import java.util.*;

public class Main {
    public static int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int n = s.length();
        int[][] dp = new int[n][n];
        
        // 初始化单个字符的情况
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }
        
        // 从长度2开始计算
        for (int len = 2; len <= n; len++) {
            for (int i = 0; i < n - len + 1; i++) {
                int j = i + len - 1;
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        
        return dp[0][n-1];
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        String s = sc.nextLine();
        System.out.println(longestPalindromeSubseq(s));
    }
}

def longestPalindromeSubseq(s):
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    
    # 初始化单个字符的情况
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    
    # 从长度2开始计算
    for length in range(2, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
    
    return dp[0][n-1]

s = input()
print(longestPalindromeSubseq(s))

算法及复杂度

  • 算法：动态规划
  • 时间复杂度： - 需要填充n×n的dp数组
  • 空间复杂度： - 需要n×n的dp数组存储中间结果

这道题的关键在于理解动态规划的状态转移方程。对于区间 ：

  1. 如果两端字符相同 ，可以将这两个字符加入回文序列，长度加
  2. 如果两端字符不同，则取去掉左端点或右端点后的最大值

通过填充 数组，我们可以得到整个字符串的最长回文子序列长度。注意遍历顺序是按照子序列长度从小到大进行的，这样可以保证计算 时，所需的 、 和 都已经计算出来了。