z 变换

1. z 变换

单位脉冲响应为 $h\left[n\right]$h[n] 的离散时间线性时不变系统对复指数输入 $z^n$zn 的响应 $y\left[n\right]$y[n] 为

$\begin{array}{}\text{(1)}& y\left[n\right]=H\left(z\right)z^n\end{array}$y[n]=H(z)zn(1)

式中 $H\left(z\right)$H(z) 是一个复常数，为

$\begin{array}{}\text{(2)}& H\left[z\right]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }h\left[n\right]z^{-n}\end{array}$H[z]=n=−∞∑+∞​h[n]z−n(2)

若 $z=e^{j\omega }$z=ejω，这里 $\omega$ω 为实数（即， $\mid z\mid =1$∣z∣=1），则（2）式的求和式就是 $h\left[n\right]$h[n] 的离散时间傅里叶变换。在更为一般的情况下，当 $\mid z\mid$∣z∣ 不限制为 1 的时候，（2）式就称为 $h\left[n\right]$h[n] 的 $z$z 变换。

一个离散时间信号 $x\left[n\right]$x[n] 的 $z$z 变换定义为

X(z)=△n=−∞∑+∞​x[n]z−n​(3)

若将复变量 $z$z 表示成极坐标形式

$\begin{array}{}\text{(4)}& z=r{e}^{j\omega }\end{array}$z=rejω(4)

用 $r$r 表示 $z$z 的模，而用 $\omega$ω 表示它的相角。利用 $r$r 和 $\omega$ω，（3）式就变为

$\begin{array}{}\text{(5)}& X\left(r{e}^{j\omega }\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left[n\right](r{e}^{j\omega }{)}^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\{x\left[n\right]r^{-n}\}{e}^{-j\omega n}\end{array}$X(rejω)=n=−∞∑+∞​x[n](rejω)−n=n=−∞∑+∞​{x[n]r−n}e−jωn(5)

由此可见， $X\left(r{e}^{j\omega }\right)$X(rejω) 就是序列 $x\left[n\right]$x[n] 乘以实指数 $r^{-n}$r−n 后的傅里叶变换，即

$\begin{array}{}\text{(6)}& X\left(r{e}^{j\omega }\right)={\displaystyle F\left\{x\right[n\left]r^{-n}\right\}}\end{array}$X(rejω)=F{x[n]r−n}(6)

在 $z$z 变换中当变换变量 $z$z 的模为 1 时，即 $z=e^{j\omega }$z=ejω， $z$z 变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数 $z$z 平面中，半径为 1 的圆上的 $z$z 变换。在 $z$z 平面上，这个圆称为单位圆。

一般来说，对于某一序列的 $z$z 变换，存在着某一个 $z$z 值的范围，对该范围内的 $z$z， $X\left(z\right)$X(z) 收敛，这样一些值的范围就称为收敛域（ROC）。如果 ROC 包括单位圆，则傅里叶变换也收敛。

• 例 1
  

• 例 2
  

2. $z$z 变换的收敛域

性质 1： $X\left(z\right)$X(z) 的 $ROC$ROC 是在 $z$z 平面上以原点为中心的圆环。

性质 2： $ROC$ROC 内不包含任何极点。

性质 3：如果 $x\left[n\right]$x[n] 是有限长序列，那么 $ROC$ROC 就是整个 $z$z 平面，可能除去 $z=0$z=0 和/或 $z=\infty$z=∞。

性质 4：如果 $x\left[n\right]$x[n] 是一个右边序列，并且 $\mid z\mid =r_0$∣z∣=r0​ 的圆位于 $ROC$ROC 内，那么 $\mid z\mid \>r_0$∣z∣>r0​ 的全部有限 $z$z 值都一定在这个 $ROC$ROC 内。

性质 5：如果 $x\left[n\right]$x[n] 是一个左边序列，并且 $\mid z\mid =r_0$∣z∣=r0​ 的圆位于 $ROC$ROC 内，那么 $ 0< |z| < r_0$ 的全部 $z$z 值都一定在这个 $ROC$ROC 内。

性质 6：如果 $x\left[n\right]$x[n] 是双边序列，并且 $\mid z\mid =r_0$∣z∣=r0​ 的圆位于 $ROC$ROC 内，那么该 $ROC$ROC 一定是由包括 $\mid z\mid =r_0$∣z∣=r0​ 的圆环所组成。

性质 7：如果 $x\left[n\right]$x[n] 的 $z$z 变换 $X\left(z\right)$X(z) 是有理的，那么它的 $ROC$ROC 就被极点所界定，或者延伸到无限远。

性质 8：如果 $x\left[n\right]$x[n] 的 $z$z 变换 $X\left(z\right)$X(z) 是有理的，而且若 $x\left[n\right]$x[n] 是右边序列，那么， $ROC$ROC 就位于 $z$z 平面内最外层极点的外边；也就是半径等于 $X\left(z\right)$X(z) 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 $x\left[n\right]$x[n] 是因果序列（即 $x\left[n\right]$x[n] 为 $n\&lt;0$n<0 等于 $0$0 的右边序列），那么， $ROC$ROC 也包括 $z=\infty$z=∞。

性质 9：如果 $x\left[n\right]$x[n] 的 $z$z 变换 $X\left(z\right)$X(z) 是有理的，而且若 $x\left[n\right]$x[n] 是左边序列，那么， $ROC$ROC 就位于 $z$z 平面内最里层的非零极点的里边；也就是半径等于 $X\left(z\right)$X(z) 中除去 $z=0$z=0 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 $z=0$z=0。特别地，若 $x\left[n\right]$x[n] 是反因果序列（即 $x\left[n\right]$x[n] 为 $n\&gt;0$n>0 等于 $0$0 的左边序列），那么， $ROC$ROC 也包括 $z=0$z=0。

3. $z$z 反变换

对（6）式两边进行傅里叶反变换可得

$\begin{array}{}\text{(7)}& {\displaystyle F^{-1}X\left(r{e}^{j\omega }\right)=x\left[n\right]r^{-n}}\end{array}$F−1X(rejω)=x[n]r−n(7)

因此

$\begin{array}{}\text{(8)}& x\left[n\right]=r^n{\displaystyle F^{-1}X\left(r{e}^{j\omega }\right)=r^n\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X\left(r{e}^{j\omega }\right)e^{j\omega n}d\omega }\end{array}$x[n]=rnF−1X(rejω)=rn2π1​∫2π​X(rejω)ejωndω(8)

将 $r^n$rn 的指数因子移进积分号内，则有

$\begin{array}{}\text{(9)}& x\left[n\right]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{2\pi }X\left(r{e}^{j\omega }\right)(r{e}^{j\omega }{)}^{n}d\omega \end{array}$x[n]=2π1​∫2π​X(rejω)(rejω)ndω(9)

也就是说，将 $z$z 变换沿着在 $ROC$ROC 内 $z=r{e}^{j\omega }$z=rejω， $r$r 固定而 $\omega$ω 在一个 $2\pi$2π 区间内变化的闭合围线上求值，就能将 $x\left[n\right]$x[n] 恢复出来。

现在将积分变量从 $\omega$ω 改为 $z$z。由于 $z=r{e}^{j\omega }$z=rejω， $r$r 固定， $dz=jr{e}^{j\omega }d\omega =jzd\omega$dz=jrejωdω=jzdω，或者 $d\omega =\left(1/j\right)z^{-1}dz$dω=(1/j)z−1dz。这样，（9）式中在 $\omega$ω 的 $2\pi$2π 区间的积分，利用 $z$z 以后，就对应于变量 $z$z 在环绕 $\mid z\mid =r$∣z∣=r 的圆上一周的积分。

$\begin{array}{}\text{(10)}& x\left[n\right]=\frac{1}{2\pi j}\oint X\left(z\right)z^{n-1}dz\end{array}$x[n]=2πj1​∮X(z)zn−1dz(10)

式中， $\oint$∮ 记为在半径为 $r$r，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。 $r$r 的值可选为使 $X\left(z\right)$X(z) 收敛的任何值，也就是使 $\mid z\mid =r$∣z∣=r 的积分围线位于 $ROC$ROC 的任何值。

• 确定 $z$z 反变换的一种方法就是先进行部分分式展开，然后逐项求其反变换。

这种方法依赖于将 $X\left(z\right)$X(z) 展开成如下形式的部分分式：

$\begin{array}{}\text{(11)}& X\left(z\right)=\sum _{i=1}^m\frac{A_i}{1-a_i{z}^{-1}}\end{array}$X(z)=i=1∑m​1−ai​z−1Ai​​(11)

若 $X\left(z\right)$X(z) 的 $ROC$ROC 是位于极点 $z=a_i$z=ai​ 的外边，那么其对应项的反变换就是 $A_i{a}_i^{n}u\left[n\right]$Ai​ain​u[n]；另一方面，若 $X\left(z\right)$X(z) 的 $ROC$ROC 是位于极点 $z=a_i$z=ai​ 的里面，那么对应项的反变换就是 $-A_i{a}_i^{n}u[-n-1]$−Ai​ain​u[−n−1]。

• 确定 $z$z 反变换的另一种方法是建立在 $X\left(z\right)$X(z) 的幂级数展开的基础之上。由 $ X(z) =\sum_{n=-\infty}^{{+\infty}x[n]z}{-n}$ 可知，实际上 $z$z 变换就是涉及 $z$z 的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数的系数就是序列值 $x\left[n\right]$x[n]。

用幂级数展开法来求 $z$z 反变换对非有理的 $z$z 变换式特别有用。

4. $z$z 变换的性质

4.1. 线性

若

x1​[n]↔zX1​(z)ROC=R1​

和

x2​[n]↔zX2​(z)ROC=R2​

则

ax1​[n]+bx2​[n]↔zaX1​(z)+bX2​(z)ROC 包括 R1​∩R2​​(12)

4.2. 时移性质

若

x[n]↔zX(z)ROC=R

则

x[n−n0​]↔zz−n0​X(z)ROC=R 原点或无限远点可能加上或除掉​(13)

4.3. $z$z 域尺度变换

若

x[n]↔zX(z)ROC=R

则

z0n​x[n]↔zX(z0​z​)ROC=∣z0​∣R​(14)

这就是说，若 $z$z 是在 $X\left(z\right)$X(z) 的 $ROC$ROC 内的一点，那么点 $\mid z_0\mid z$∣z0​∣z 就在 $X\left(z/z_0\right)$X(z/z0​) 的 $ROC$ROC 内。

4.4. 时间反转

若

x[n]↔zX(z)ROC=R

则

x[−n]↔zX(z1​)ROC=R1​​(15)

这就是说，若 $z_0$z0​ 是在 $x\left[n\right]$x[n] 的 $z$z 变换 $ROC$ROC 内，那么点 $1/z_0$1/z0​ 就在 $x[-n]$x[−n] 的 $z$z 变换 $ROC$ROC 内。

4.5. 时间扩展

若令 $k$k 是一个正整数，并且定义

$\begin{array}{}\text{(16)}& x_{\left(k\right)}\left[n\right]=\{\begin{array}{cc}x\left[n/k\right]& \text{当 }n为k的整数倍\\ 0,& \text{当 }n不为k的整数倍\end{array}\end{array}$x(k)​[n]={x[n/k]0,​当 n 为 k 的整数倍当 n 不为 k 的整数倍​(16)

若

x[n]↔zX(z)ROC=R

则

x(k)​[n]↔zX(zk)ROC=R1/k​(17)

这就是说，若 $z$z 是在 $X\left(z\right)$X(z) 的 $ROC$ROC 内，那么点 $z^{1/k}$z1/k 就在 $X\left(z^k\right)$X(zk) 的 $ROC$ROC 内。

4.6. 共轭

若

x[n]↔zX(z)ROC=R

则

x∗[n]↔zX∗(z∗)ROC=R​(18)

4.7. 卷积性质

若

x1​[n]↔zX1​(z)ROC=R1​

和

x2​[n]↔zX2​(z)ROC=R2​

则

x1​[n]∗x2​[n]↔zX1​(z)X2​(z)ROC 包括 R1​∩R2​​(19)

4.8. $z$z 域微分

若

x[n]↔zX(z)ROC=R

则

nx[n]↔z−zdzdX(z)​ROC=R​(20)

4.9. 初值定理

若 $n\&lt;0,x\left[n\right]=0$n<0,x[n]=0，则

$\begin{array}{}\text{(21)}& x\left[0\right]=\underset{}{\lim }X\left(z\right)\end{array}$x[0]=z→∞lim​X(z)(21)

4.10. 终值定理

若 $n\&lt;0,x\left[n\right]=0$n<0,x[n]=0，其 $z$z 变换的极点，除可以有一个一阶极点在 $z=1$z=1 上，其它极点均在单位圆内，则

$\begin{array}{}\text{(21)}& \underset{}{\lim }x\left[n\right]=\underset{}{\lim }(z-1)X\left(z\right)\end{array}$n→∞lim​x[n]=z→1lim​(z−1)X(z)(21)

4.11. 性质小结

4.12. 几个常用的 $z$z 变换对

5. 利用 $z$z 变换分析与表征线性时不变系统

在离散时间 $LTI$LTI 系统的分析和表示中， $z$z 变换有其特别重要的作用，由卷积性质可得

$\begin{array}{}\text{(23)}& Y\left(z\right)=H\left(z\right)X\left(z\right)\end{array}$Y(z)=H(z)X(z)(23)

式中 $X\left(z\right)、Y\left(z\right)、H\left(z\right)$X(z)、Y(z)、H(z) 分别是系统输入、输出和单位脉冲响应的 $z$z 变换 。 $H\left(z\right)$H(z) 称为系统的系统函数或转移函数。

5.1. 因果性

一个因果 $LTI$LTI 系统其单位脉冲响应 $h\left[n\right]$h[n]是对于 $n\&lt;0，h\left[n\right]=0$n<0，h[n]=0，因此是一个右边序列。由性质 4 知道 $H\left(z\right)$H(z) 的 $ROC$ROC 是位于 $z$z 平面内某一个圆的外边。由性质 8 可知，对于一个因果序列，这个幂级数中，

$\begin{array}{}\text{(24)}& H\left(z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }h\left[n\right]z^{-n}\end{array}$H(z)=n=0∑∞​h[n]z−n(24)

不包含任何 $z$z 的正幂次项，因此 $ROC$ROC 包括无限远点。综上所述，就得出如下属性：

一个离散时间 $LTI$LTI 系统当且仅当它的系统函数的 $ROC$ROC 是在某一个圆的外边，且包括无限远点，该系统就是因果的。

如果 $H\left(z\right)$H(z) 是有理的，那么该系统要是因果的，其 $ROC$ROC 必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在 $ROC$ROC 内；等效地说，随 $z\to \infty$z→∞ 时， $H\left(z\right)$H(z) 的极限必须是有限的。这就等效于，当 $H\left(z\right)$H(z) 的分子和分母都是表示成的 $z$z 的多项式时，其分子的阶次不会大于分母的阶次。即

一个具有有理系统函数 $H\left(z\right)$H(z) 的 $LTI$LTI 系统要是因果的，当且仅当：(1) $ROC$ROC 位于最外层极点某一个圆的外面；和 (2) 若 $H\left(z\right)$H(z) 表示成 $z$z 的多项式之比，其分子的阶次不能大于分母的阶次。

5.2. 稳定性

一个离散时间 $LTI$LTI 系统的稳定性就等效于它的单位脉冲响应是绝对可和的，在这种情况下， $h\left[n\right]$h[n] 的傅里叶变换收敛，结果就是 $H\left(z\right)$H(z) 的 $ROC$ROC 必须包括单位圆。综上所述，可得如下结果：

一个 $LTI$LTI 系统当且仅当它的系统函数 $H\left(z\right)$H(z) 的 $ROC$ROC 包括单位圆，该系统就是稳定的。

对于一个具有有理系统函数的因果系统而言， $ROC$ROC 位于最外层极点的外边。对于这个包括单位圆的 $ROC$ROC ，系统的全部极点都必须位于单位圆内，即

一个具有有理系统函数的因果 $LTI$LTI 系统，当且仅当 $H\left(z\right)$H(z) 的全部极点都位于单位圆内时，也即全部极点模均小于 1 时，系统就是稳定的。

5.3. 由线性常系数差分方程表征的 $LTI$LTI 系统

对于一般的 $N$N 阶差分方程，可以对方程两边进行 $z$z 变换，并利用线性和时移性质。现考虑一个 $LTI$LTI 系统，其输入、输出满足如下线性常系数差分方程：