二分、非线性规划
题意:
牛牛有{x}x件材料{a}a和{y}y件材料{b}b,用{2}2件材料{a}a和{3}3件材料{b}b可以合成一件装备,用{4}4件材料{a}a和{1}1件材料{b}b也可以合成一件装备。牛牛想要最大化合成的装备的数量,于是牛牛找来了你帮忙。
分析
看到最大化想要用二分法解决,答案范围也已知,且答案具有单调性。即如果不能合成n件装备那也一定不能合成
n件以上的装备。
构建一个函数 int solve(int x,int y) 返回x件a物品,y件b物品下最多合成的装备个数。
初始化l = 0,r = 1e9
取mid = (l+r)>>1 如果能合成mid或mid以上的装备,让l = mid+1
反之令r = mid-1
最终答案一定会是l-1
那么问题的关键是如何判断是否能合成mid或mid件以上的装备呢?
假设我们要合成mid件装备
合成k件2a3b的,mid-k件4a1b的
则总消耗材料为:
k(2a + 3b) + (mid - k)(4a + b)
化简为: (4mid - 2k)a + (mid + 2k)b
那么对于这个式子就有一定要满足:
- 0 <= 4mid - 2k <= x
- 0 <= mid + 2k <= y
- 0 <= k <= mid(最初的条件)
我们对这三个式子进行一些合并会得到:
- 4mid - x <= 2k <= 2mid
- 0 <= 2k <= y - mid
则我们只要保证有k存在使其满足这个式子,那么就可以合成mid件装备!
如何满足呢我们令 tmp1 = max(4mid-x,0) tmp2 = min(2mid,y-mid)
那么只要存在 tmp1 <= 2k <= tmp2 的k 即可。
注意在这里因为k是整数,所以2k是偶数,因此
当tmp1==tmp2时 如果tmp1为奇数式子也是不成立的!!!
当tmp1<tmp2时一定成立
代码如下,注意细节
#include<iostream>; #include<algorithm>; using namespace std; typedef long long ll; const ll max_r = 1e9 + 100; ll x, y; int solve(ll x,ll y) { ll l = 0;ll r = max_r; while (l <= r) { ll mid = (l + r) >> 1; ll tmp1 = min(2 * mid, y - mid); ll tmp2 = max(4 * mid - x, (ll)0); if (tmp1 == tmp2 && (tmp1&1)) r = mid - 1; else if (tmp1 >= tmp2) l = mid + 1; else r = mid - 1; }return l - 1; } int main() { ios::sync_with_stdio(0); int t;cin >> t; while (t--) { cin >> x >> y; cout << solve(x, y) << endl; } }