-1.序言

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说到线性方程组，大家第一反应大概就是高斯消元，本文将对其详细讲解并配合例题与相关方法为您呈现。

本文因图文并茂有较多配图且讲解详细较多，再过多的放置代码会引起文章的冗长以及阅读的不适，故只将模板放在上面。

0、由来

遇到形如：

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+...+a2n​xn​=b2​.........an1​x1​+an2​x2​+...+ann​xn​=bn​​

这样的方程组，你会怎么解呢？

如果是在数学领域中，可能这样的方程组中方程的个数是屈指可数的，这样就特别简单，一通乱搞就出来了。

但是如果在OI领域遇到这类问题呢？我们发现，计算机中必须由固定的算法，才能实现某一问题，而人脑能进行综合性的思考，但是却无法将大脑中的神经元活动表述到程序中，这是人脑与电脑的区别，也就由此诞生了各种解线性方程组的方法。

说到这里，我想起了一本著名的书：计算机与人脑。冯诺依曼写的，有兴趣者可以自行购买阅读也能普及一些历史

这种线性的方程组在工程中也运用广泛，这种模型中：

• 未知量较多

• 方程个数不同

而在考虑解方程时，要考虑：

• 是否有解？

• 如果有解，是否唯一？

• 如果不唯一，解有什么规律与结构？

由此，线性方程组的解决方法就显得尤为重要。

下面就来介绍一下两种常用的方法及相关例题

1、高斯消元

插播一些历史知识：

该方法以数学家高斯命名，由拉布扎比.伊丁特改进，发表于法国但最早出现于中国古籍《九章算术》，成书于约公元前150年。

自豪ingQAQ

高斯：

为德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家。享有“数学王子”的美誉，真的是多才多艺，著名的“自然数1~100的求和问题”就是他9岁时计算出来的，虽然可能现在对我们来说轻而易举，但是的确体现了他那时的创新精神，为日后的研究打下了坚实的基础。

这种是大家比较耳熟能详的解法了。

那么，这种解法的核心思想是什么呢？

我们先来构想一下，什么样子的线性方程式我们用电脑也能写出解法？

显然，我们如果从某一个式子开始，每一个式子都能得到一个未知数的解，而得到了这个未知数的解，又能代入另一个方程，再得到一个未知数的解。

以此类推。

没错就是本萌新最擅长的无脑递推

总结一下，就是一个“三角形分割”《----（自己瞎起的名字）

还是拿上面那个普遍形式：

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​a11​x1​+a12​x2​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+...+a2n​xn​=b2​.........an1​x1​+an2​x2​+...+ann​xn​=bn​​

但是为了观察方便，我们假设一个三行四列的式子：（真香）

$\{\begin{array}{c}{x}_1+3x_2+4x_3=5\\ x_1+4x_2+7x_3=3\\ 9x_1+3x_2+2x_3=2\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+3x2​+4x3​=5x1​+4x2​+7x3​=39x1​+3x2​+2x3​=2​

此时把系数写到矩阵里：（没学过矩阵也没关系，就当成一个表示就行啦）

其实就是高斯消元模板题的样例

第一步：对左侧的系数进行消元，即对：

进行向“三角形分割”的转换

即目标状态为

此时，我们设标红的1为主元，对照目标状态可知，标绿的1和9需要化0

所以我们只需要将第二行整体减去第一行，就实现了将绿1化0

那么9如何转化呢？

此时就对应的整体减去9倍的第一行就行（可能会有更简便的系数化0法，但是我们要给计算机设计一个统一的算法才能实现）

于是就得到了：

然后再以绿1为主元，现在我们需要将-24化为0

于是将第三行整体减去 $-24$−24倍第二行（其实相当于加24倍）

Q：这里不会把之前第一列化好的0给冲掉吗？

A:显然，在上一步已经保证第一列除主元外系数皆为0，所以不会出现上述情况

Q:万一上面那个绿1为0怎么办？

A:这就是比较特殊的主元为0的情况，此时因为每一个方程地位都相等，所以只需将主元所在的行与下方主元位置非0的行互换即可。

追加Q：万一下面也没有呢？

A:那么方程就无解了，这种情况在后面也会提到。

于是就和

这个目标状态对应起来了。

然后就想摩拳擦掌的解了。

但是发现右边的b还没有代入矩阵。

于是

第二步：对增广矩阵消元

所谓增广矩阵？

增广矩阵（又称扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。 -----百度百科

其实就是多出b那一列啦

如上

增广矩阵的操作与左侧的系数矩阵完全一样，刚开始单列系数矩阵只是一个由简入难的过程，加深对高斯消元的理解。咸鱼限于篇幅原因，就不再赘述。

第三步：回带

最后经过一系列的消元，就得到了如下矩阵：

然后把矩阵再写回方程组：

$\{\begin{array}{c}{x}_1+3x_2+4x_3=5\\ 0x_1+1x_2+3x_3=-2\\ 0x_1+0x_2+38x_3=-91\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+3x2​+4x3​=50x1​+1x2​+3x3​=−20x1​+0x2​+38x3​=−91​

这样我们显而易见地就可以去掉系数为0的字母：

$\{\begin{array}{c}{x}_1+3x_2+4x_3=5\\ 1x_2+3x_3=-2\\ 38x_3=-91\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+3x2​+4x3​=51x2​+3x3​=−238x3​=−91​

现在结果明了了，从下往上推：

依次可以得到

$x_3=\frac{-91}{38}=-2.39$x3​=38−91​=−2.39
（保留了两位小数）

然后已知 $x_3$x3​，将其代入中间式子中的 $x_3$x3​，同理解得

$x_2=5.18$x2​=5.18

最后将 $x_2$x2​, $x_3$x3​都代回最上面的式子，得：

$x_1=-0.97$x1​=−0.97

于是，对高斯消元的手动模拟就结束了QAQ

显然，这个在数学考试中会答不完题的，但是对于计算机来说，却是一个通用的方法。

时间复杂度： $O\left(n^3\right)$O(n3)

虽然时间复杂度较高，不管怎样，我们已经找到了解决线性方程组的计算机通用方法，下面就用代码实现：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
const double eps=1e-7 ;
double a[105][105],ans[105];
int main()
{
    int n;
	scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    { 
        for(int j=1;j<=n+1;j++)//这里千万别忘了右侧那一列了 
        {
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
	{
        int m=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(fabs(a[m][i])<fabs(a[j][i]))//fabs能取浮点数绝对值
                m=j;//找到当前这一列最大的数字,作为主元消元，这样能最大限度的避免精度误差 
        if(fabs(a[m][i])<eps)//这里要判精度，其实就是如果该位置的系数为0则无解（double没法准确处理这种精度 
		{
            printf("No Solution\n");
            return 0;
        }
        if(i!=m)swap(a[i],a[m]);//如果巧了，当前行不是最大行，那得罪了，你换下去吧，让未来的主元上来，好直接枚举之后的方程就行了 
        double d=a[i][i];
        for(int j=i;j<=n+1;j++)
            a[i][j]/=d;//将该位置的系数变为1 
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
            d=a[j][i];
            for(int k=i;k<=n+1;k++)
            {
                a[j][k]-=a[i][k]*d;//将其他的方程用两式相减的方法减去应当减掉的系数的值 
            }
        }
    }
    ans[n]=a[n][n+1];
    for(int i=n-1;i>=1;i--)//回带，最后一行直接写出答案，然后其他行还有等待前面处理出来，从后往前推即可 
	{
        ans[i]=a[i][n+1];//这里不难理解 
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            ans[i]-=a[i][j]*ans[j]; 
    	}
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    { 
        printf("%.2lf\n",ans[i]);
    }
    return 0;
}

这个模板可以在P3389 【模板】高斯消元法提交测试（话说貌似我之前已经放个一遍链接了

其他的地方应该都不难理解，就是为什么要让主元是最大的来避免误差？

这个是从期望上来证明的，有兴趣者阔以看看这一篇日报，应该就能想出来了吧。

大概就是：

设当前要消元的式子系数为 $q_{i1},q_{i2},q_{i3}...q_{in}$qi1​,qi2​,qi3​...qin​

并假定我们主要针对的系数是 $q_{i1}$qi1​

则有

$q_{jn}=q_{jn}-\frac{q_{j1}}{q_{i1}}\times q_{iw}$qjn​=qjn​−qi1​qj1​​×qiw​

此时我们求的最大主元就是 $q_{i1}$qi1​，它越大，就说明 $\frac{q_{j1}}{q_{i1}}$qi1​qj1​​的期望越小，这时较小的数给整个结果带来的影响也小，那么就不容易造成精度误差了QAQ

到此，高斯消元就结束了，但是

还有高斯消元的进阶版，能避免回带来求出答案。

2、高斯——约旦消元

说到避免回带来求出答案，大家应该能想到这种算法的目的，还是拿样例来说，就是把方程组变成：

这样，每个方程就能独立的解了。

那么，我们如何得到这种形式呢？

首先，我们依照朴素的高斯消元不难得到:

观察上下两个矩阵，不难得到，我们在消元时不仅仅消去主元所在式子下方的式子，而对于上方的式子也应当予以处理。

于是就开始了，下方是原图：

第一次与普通消元类似，即得：

但是第二次也要将第一行进行消元，得到：

然后就是最后一步（这一步是比朴素高斯消元要多的）：

把矩阵写回方程组

$\{\begin{array}{c}{x}_1+0x_2+0x_3=-0.97\\ 0x_1+x_2+0x_3=5.18\\ 0x_1+0x_2+38x_3=-91\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+0x2​+0x3​=−0.970x1​+x2​+0x3​=5.180x1​+0x2​+38x3​=−91​

系数为0去掉.jpg:

$\{\begin{array}{c}{x}_1=-0.97\\ x_2=5.18\\ 38x_3=-91\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=−0.97x2​=5.1838x3​=−91​

这下子结果显然：

$\{\begin{array}{c}{x}_1=-0.97\\ x_2=5.18\\ x_3=-2.39\end{array}$⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=−0.97x2​=5.18x3​=−2.39​

下面是模板代码：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
double a[105][105];
int main()
{
	int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
        {
            scanf("%lf",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//枚举列（项） 
    {
        int m=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)//选出该列最大系数 
        {
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[m][i]))//fabs是取浮点数的绝对值的函数
            {
                m=j;
            }
        }
        for(int j=1;j<=n+1;j++)//交换
        {
            swap(a[i][j],a[m][j]);
        }
        if(a[i][i]==0)//最大值等于0则说明该列都为0，肯定无解 
        {
            printf("No Solution\n");
            return 0;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++)//每一项都减去一个数
        {
            if(j!=i)//不是主元那一项 
            {
                double d=a[j][i]/a[i][i];
                for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
                {
                    a[j][k]-=a[i][k]*d;
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)//最后的结果系数可能不为1，所以记得消去常数 
    {
        printf("%.2lf\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
    }
    return 0;
}

显然，这一份代码较上一份简练一些

3、例题

例题1：

P2455 [SDOI2006]线性方程组

题意简叙：

已知n元线性一次方程组，判断解的情况。

• 无实数解输出-1
• 无穷多实数解输出0
• 有唯一解，则输出解（小数点后保留两位小数）。具体格式见样例

分析：

这道题只是细化了前面模板题对无法得出唯一解情况的判断，于是顺便讲一下无解&&多解时的判断方法：

（我们知道，只要一个未知数无解或多解就可以说明整个方程的情况）：

无解：

我们最直接的就是判断最后一行是否是

左边系数为0而右边系数不为0

但在容易疏漏情况，我们考虑到每一行，都会在其前面的消元中将唯一一个未知数留下来，也就都等同于第一行。

于是，每一行都可以按照最后一行的套路模板来判断：

$if\left(a\right[i\left]\right[i]==0$if(a[i][i]==0&& $a\left[i\right][n+1]!=0)$a[i][n+1]!=0)无解

多解：

与上面对应的，我们很容易想到：

$if\left(a\right[i\left]\right[i]==0$if(a[i][i]==0&& $a\left[i\right][n+1]==0)$a[i][n+1]==0)多解

• 要注意先判断无解，如果是的话直接跳出，然后轮到多解。

因为多解首先建立在有解的基础上，如果哪一个未知数无解，整个方程自然不存在解，更不必说多解了。

然后其他的就和模板题完全一样了

例题2:

（这题我没有找到出处）

题目：【维他命的配方】

题意：

现有若干种维他命，问能否利用这些维他命配制出适合人需求的各种维生素

输入格式:

第一行：人需补充的维生素种类数 $V(1\le V\le 25)$V(1≤V≤25)

第二行：V个数，第i个数为 $V_i$Vi​,表示人体对第i种维生素的需求量 $(1\le V_i\le 1000)$(1≤Vi​≤1000)

第三行：已知的维他命种类 $G(1\le G\le 15)$G(1≤G≤15)

接下来是一个 $G\times V$G×V的整数矩阵， $A_{ij}$Aij​表示第i种维他命中所含的第j中维生素的含量 $(1\le A_{ij}\le 1000)$(1≤Aij​≤1000)

输出格式：

第一行输出能否配制，能则“YES”,否则“NO”

第二行：若能配制则输出G个整数， $G_i$Gi​表示第i中维他命所取的数列，多种方案输出任意一组。不能配制酒无需输出此行。

输入样例：

4
100 200 300 400
4
50 50 50 50
30 100 100 100
20 50 150 250
50 100 150 200

输出样例：

YES
1 1 1 0

分析：

首先要弄清维他命与维生素的区别。

然后就应该不难想到高斯消元。

设需要配制第i种维他命数量为 $x_i(i\le 15)$xi​(i≤15)

根据题意可列出：

$\{\begin{array}{c}50x_1+30x_2+20x_3+50x_4=100\\ 50x_1+100x_2+50x_3+100x_4=200\\ 50x_1+100x_2+150x_3+150x_4=300\\ 50x_1+100x_2+250x_3+200x_4=400\end{array}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​50x1​+30x2​+20x3​+50x4​=10050x1​+100x2​+50x3​+100x4​=20050x1​+100x2​+150x3​+150x4​=30050x1​+100x2​+250x3​+200x4​=400​

• 这第一步很好想到，但是行列的顺序却容易弄错，仔细观察就会发现需要把 $V_i$Vi​补到矩阵的第G+1行，然后每一列为一个方程计算。

列成矩阵的形式：

一通消元变成：

[外链图片转存失败(img-IsApdztr-1565828257766)(https://i.loli.net/2019/08/13/N62PGFYlvwT9W7x.png)]

这时，我们惊奇的发现：最后一行都是0

（呀这怎么办！）

（刚才的知识怎么学的！不就是个多解情况吗？！）

水印打在人身上可还行

好了，多不多解不是关键，关键在于我们要怎么处理这一情况

但这是关键，也并不难。

我们只需懒一些将可能多解的未知数设为0，来尽可能的减少运算就行。

具体针对这个样例来说，就是设 $x_4=0$x4​=0，他的数量与答案无关，并不造成影响。

4、高斯消元注意事项：

• 模板不要背错
• 为了避免精度问题，最好和eps比较而不是和0比较（虽然有时这个基本相同）
• 无解多解的判断情况以及顺序
• 遇到题目转换成高斯消元时不要兴奋的转换出错或弄反

5、后记

这一篇高斯消元的文章终于完工了，里面的矩阵配图和线性方程组的LaTeX书写不易，如果这篇文章对您有帮助，那请不吝赐赞。