用处
没用我学这东西干嘛
- 快速查询一个数是否可以被一堆数异或出来
- 快速查询一堆数可以异或出来的最大/最小值
- 快速查询一堆数可以异或出来的第k大值
这么点？
还有点性质在下面 可能有点用
性质
- 原数列里的任何一个数都可以通过线性基里的数异或表示出来
- 线性基里任意一个子集的异或和都不为\(0\)
- 一个数列可能有多个线性基，但是线性基里数的数量一定唯一，而且是满足性质一的基础上最少的
原理&实现
由于我想写简单一点，直接对代码写，所以真正的关于线性代数的那一部分就没写了 妄图掩盖自己不会的事实
约定
以下\(p[i]\)表示原序列的线性基数组。
构造
先贴代码
把一个数插入线性基：
inline void ins(LL x) {
for(R int i=62;i>=0;i--)
if(x&(1LL<<i)) {
if(!p[i]) { p[i]=x,cnt++; break; }
else x^=p[i];
}
}
人话描述：
- 从高位到低位进行。
- 如果\(x_{(2)}\)第\(i\)位为\(1\)，判断\(p[i]\)是否插入，没有就插入并且退出，否则就异或上\(p[i]\)去进行下一位操作 。
那么，通过观察这个构造，我们再来感性理解线性基。
- 异或的一个小性质：$ x \oplus y \oplus y =x $。
- 性质一：观察插入过程，如果没有成功插入，对于\(x_{(2)}\)的每一位，要不就是不存在，要不就是异或上\(p[i]\)变成了\(0\)，那么最终\(x\)如果没有插入，那就意味着原有的线性基可以把它异或出来，它就没有插入的必要了。而更显然的，线性基中的数肯定是可以表示的。于是原序列中的每一个数都可以通过线性基表示出来。
- 性质二：假设出现了\(p[1] \oplus p[2]\oplus p[3]=0\),那就会有\(p[1]\oplus p[2]=p[3]\)，根据之前的定义，\(p[3]\)是不会被插入的。所以也可以得出线性基的任意一个子集异或和都不为\(0\)，所以在之后求第\(k\)大的时候和一些别的时候，注意特判\(0\)。
- 性质三：考虑分类讨论
- 当所有元素都可以插入线性基的时候，性质三显然成立
- 设有一个元素\(x\)不能插入线性基，那就会有\(x=0\)或者是\(p[a]\oplus p[b]\oplus p[c]=x\)。显然当\(x=0\)的时候无论如何都不能插入线性基，而另一种情况则代表等式\(p[a]\oplus p[b]\oplus x=p[c]\)也就是说如果先插入\(x\)，\(p[c]\)就无法插入了，又因为观察插入过程的时候，每一个插入的数对应着一位，所以\(x\)与\(p[c]\)相排斥只会影响一位上的问题，那也就代表着线性基里的数可能不同，但是总数肯定是一定的。
于是我们初步理解了线性基
查询一个元素是否可以被异或出来
从高到低，如果这一位为\(1\)就异或上这一位的线性基，把\(1\)消去，根据性质一，如果最后得到了\(0\)，那这个数就可以表示出来。
inline int ask(LL x) {
for(R int i=62;i>=0;i--)
if(x&(1LL<<i)) x^=p[i];
return x==0;
}
查询异或最大值
按位贪心即可。
inline LL askmx() {
LL ans=0;
for(R int i=62;i>=0;i--)
if((ans^p[i])>ans) ans^=p[i];
return ans;
}
查询异或最小值
其实异或的最小值一般来说就是线性基里的最小元素，因为插入这个元素的时候我们总是尽量让它的高位为\(0\)才来插入这一位。但是为什么是“一般”呢？因为有可能会有出现\(0\)，得要在插入的时候记下个标记来特判才行。
inline LL askmn() {
if(zero) return 0;
for(R int i=0;i<=62;i++)
if(p[i]) return p[i];
}
查询异或第\(k\)小
这个东东我感觉实现还是有那么点点复杂的哈。
首先考虑，要是每一位的选择都不会影响下一位的话，那就可以直接从高到低按位去选择就行了，就类似于二叉树求\(rank\)的玩法。但是我们之前建出来的线性基是没有这个性质的。比如\(p[3]=101_{2},p[0]=1_{2}\)的时候就炸了。所以我们考虑重构一个数组\(d\)来解决这个问题。先上代码：
inline void rebuild() {
cnt=0;top=0;
for(R int i=MB;i>=0;i--)
for(R int j=i-1;j>=0;j--)
if(p[i]&(1LL<<j)) p[i]^=p[j];
for(R int i=0;i<=MB;i++) if(p[i]) d[cnt++]=p[i];
}
那么这是在干啥呢，就是在尽力把每个\(p[i]\)只留下第\(i\)位的\(1\)，从而使得各个位之间互不影响，也就是说它的理想效果如下：
\(p[0] ~0~0~0~0~1\)
\(p[1] ~0~0~0~1~0\)
\(p[2] ~0~0~1~0~0\)
\(p[3] ~0~1~0~0~0\)
\(p[4] ~1~0~0~0~0\)
但有时候并不能达到这个样子，可能会出现如下情况：
\(p[0] ~0~0~0~0~1\)
\(p[1] ~0~0~0~0~0\)
\(p[2] ~0~0~1~0~0\)
\(p[3] ~0~1~0~0~0\)
\(p[4] ~1~0~0~1~0\)
但是这个时候我们注意到，我们的目的已经达到了，互不影响的任务已经达成了，显然此时为\(0\)的\(p\)值不会对排名有任何影响，不用管它了。把信息导入到\(d\)数组后，查询\(k\)小代码不难写出：
inline LL kth(int k) {
if(k>=(1LL<<cnt)) return -1;
LL ans=0;
for(R int i=MB;i>=0;i--)
if(k&(1LL<<i)) ans^=d[i];
return ans;
}
其实我个人觉得这个代码还得要自己理解一下。
背板子也行
但是这样其实还不太对，因为我们并没有考虑\(0\)的情况，所以还要去考虑一下\(0\)的情况，特判即可。
printf("%lld\n",tmp-zero?kth(tmp-zero):0LL);
查询排名
inline int rank(LL x) {
int ans = 0;
for(R int i = cnt - 1; i >= 0; i --)
if(x >= d[i]) ans += (1 << i), x ^= d[i];
return ans + zero;
}
注：这个\(d[i]\)是重建后的线性基。
于是线性基的基本操作就结束啦！
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