4.二分算法

4.1 二分查找函数

  • 写一个函数BinarySeach，在包含size个元素的、从小到大排序的int数组a里查找元素

p,如果找到，则返回元素下标，如果找不到，则返回-1。要求复杂度O(log(n))

int BinarySearch(int a[], int size, int p)
{
    int L = 0;          //查找区间的左端点
    int R = size - 1; //查找区间的右端点
    while (L <= R)
    {                               //如果查找区间不为空就继续查找
        int mid = L + (R - L) / 2; //取查找区间正中元素的下标，防止(L+R)过大溢出
        if (p == a[mid])
            return mid;
        else if (p > a[mid])
            L = mid + 1; //设置新的查找区间的左端点
        else
            R = mid - 1; //设置新的查找区间的右端点
    }
    return -1;
} //复杂度O(log(n))
  • 写一个函数LowerBound，在包含size个元素的、从小到大排序的int数组a里查找比给

定整数p小的，下标最大的元素。找到则返回其下标，找不到则返回-1

int LowerBound(int a[], int size, int p) //复杂度O(log(n))
{
    int L = 0;                   //查找区间的左端点
    int R = size - 1;           //查找区间的右端点
    int lastPos = -1;           //到目前为止找到的最优解while( L <= R) { //如果查找区间不为空就继续查找
    int mid = L + (R - L) / 2; //取查找区间正中元素的下标
    if (a[mid] >= p)
        R = mid - 1;
    else
    {
        lastPos = mid;
        L = mid + 1;
    }
    return lastPos;
}

4.2 二分法求方程的根

求下面方程的一个根：f(x) = x3-5x2+10x-80 = 0，若求出的根是a，则要求 |f(a)| <= 10-6

解题思路：对f(x)求导，得f'(x)=3x2-10x+10。由一元二次方程求根公式知方程f'(x)= 0 无解，因此f'(x)恒大于0。故f(x)是单调递增的。易知 f(0) < 0且f(100)>0,所以区间[0,100]内必然有且只有一个根。由于f(x)在[0,100]内是单调的，所以可以用二分的办法在区间[0,100]中寻找根。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double EPS = 1e-6;
double f(double x) { return x * x * x - 5 * x * x + 10 * x - 80; }
int main()
{
    double root, x1 = 0, x2 = 100, y;
    root = x1 + (x2 - x1) / 2;
    int triedTimes = 1; //记录一共尝试多少次，对求根来说不是必须的
    y = f(root);
    while (fabs(y) > EPS)
    {
        if (y > 0)
            x2 = root;
        else
            x1 = root;
        root = x1 + (x2 - x1) / 2;
        y = f(root);
        triedTimes++;
    }
    printf("%.8f\n", root);
    printf("%d", triedTimes);
    return 0;
}

4.3 寻找指定和的整数对

输入n ( n<= 100,000)个整数，找出其中的两个数，它们之和等于整数m(假定肯定有解)。题中所有整数都能用 int 表示

  • 解法一

    用两重循环，枚举所有的取数方法，复杂度是O(n2)的。

  • 解法二

    1) 将数组排序，复杂度是O(n×log(n))

    2) 对数组中的每个元素a[i],在数组中二分查找m-a[i]，看能否找到。复杂度log(n)，最坏要查找n-2次，所以查找这部分的复杂度也是O(n×log(n))

    这种解法总的复杂度是O(n×log(n))的。

  • 解法三

    1) 将数组排序，复杂度是O(n×log(n))

    2) 查找的时候，设置两个变量i和j,i初值是0,j初值是n-1.看a[i]+a[ j],如果大于m，就让j 减1，如果小于m,就让i加1，直至a[i]+a[ j]=m。

    这种解法总的复杂度是O(n×log(n))的。

4.4 农夫和奶牛

农夫 John 建造了一座很长的畜栏，它包括N (2≤N≤100,000)个隔间，这些小隔间的位置为x0,...,xN-1 (0≤xi≤1,000,000,000,均为整数,各不相同).John的C (2≤C≤N)头牛每头分到一个隔间。牛都希望互相离得远点省得互相打扰。怎样才能使任意两头牛之间的最小距离尽可能的大，这个最大的最小距离是多少呢？

  • 解法1：
    先得到排序后的隔间坐标 x0,...,xN-1
    从1,000,000,000/C到1依次尝试这个“最大的最近距离”D， 找到的第一个可行的就是答案。
    尝试方法：
    1) 第1头牛放在x0
    2) 若第k头牛放在xi ，则找到xi+1到xN-1中第一个位于[xi+D, 1,000,000,000]中的Xj ,第k+1头牛放在Xj。找不到这样的Xj,则 D=D-1,转 1)再试
    若所有牛都能放下，则D即答案
    复杂度 1,000,000,000/C *N，即 1,000,000,000, 超时!
  • 解法2：
    先得到排序后的隔间坐标 x0,...,xN-1
    在[L,R]内用二分法尝试“最大最近距离”D = (L+R)/2 (L,R初值为[1, 1,000,000,000/C]
    若D可行，则记住该D，然后在新[L,R]中继续尝试(L= D+1)
    若D不可行，则在新[L,R]中继续尝试(R= D-1)
    复杂度 log(1,000,000,000/C) * N