二分法——区间与选择

二分法——区间与选择

常见区间分类

1.左闭右闭

左闭右闭区间——[L,R];

while (l <= r) {
   
	int mid = l + (r - l) / 2;
	if (a[mid] > x) {
   
		r = mid - 1;
	}
	else if (a[mid] < x) {
   
		l = mid + 1;
	}
	else {
   
		l = mid;
		break;
	}
}

因为区间的两个端点都是可以取到的，所以while循环中，l==r是合法的，即存在[1,1]这种合法情况，if判断语句中，一定要把a[mid] == x和<或>关系分开来写，因为a[mid]>=x;表示——>a[mid]>x <mark>或</mark>a[mid]==x，因为端点r或者l是包括在区间内部的，所以当a[mid]>x时，r不能等于mid,因为mid处的值已经被判断为了比x大，应该将mid排除在区间外，但是如果a[mid]= =x同时与a[mid]>x同时存在时，r若不等于mid（即r= =mid-1），那么就直接将a[mid]= =x这种mid的情况排除在了区间外，这样子无法得到正确的结果，所以a[mid]>x与a[mid]= =x分开来判断。

2.左闭右开

左闭右开区间——[L,R);

while (l < r) {
   
	int min = l + (r - l) / 2;
	if (a[mid]>=x) {
   
		r = mid;
	}
	else {
   
		l = mid + 1;
	}
}

区间的左端点l包括在区间内，而右端点r不包括在区间内，故l不能等于r，即[1,1)——1既存在在区间内，又不存在在区间内，这种区间是不合法的，由此，while循环判断条件l不能等于r。当a[mid]>=x时，为什么mid可以赋值给了r呢？——>因为，r不属于区间内，所以r= =mid时，新的区间内并不包含mid，但是这样的不包含，不影响对于a[mid]= =x的情况的后续操作，因为r依旧指向x元素，在接下来的二分中，r始终指向x元素，而l在不断向x元素逼近，最终，当l= =r的时候，就找到了x的位置。l=mid+1；——>当a[mid]<x的时候，x一定位于不包含mid位置的右区间里面，而[L,R)，区间更新后，l始终位于区间内部，所以若l= mid，那么就把已经判断过不属于新区间的值又包含在区间内了，故r=mid+1；将mid位置排除在区间外面。

3.实数二分区间

实数二分区间不需要区间判断，需要考虑的是精度的问题

while ((r - l) > eps) {
   
	double mid = l + (r - l) / 2;
	if (check(mid))
		l = mid;
	else
		r = mid;
}

l，r直接用mid来赋值就可以了。