22. 传统算法

机器学习面试题汇总与解析——传统算法

本章讲解知识点

• 1. 前言
• 2. 傅里叶变换
• 3. 边缘检测算法
• 4. 牛顿法
• 5. 插值算法
• 6. SIFT
• 7. SURF

• 本专栏适合于Python已经入门的学生或人士，有一定的编程基础。

• 本专栏适合于算法工程师、机器学习、图像处理求职的学生或人士。

• 本专栏针对面试题答案进行了优化，尽量做到好记、言简意赅。这才是一份面试题总结的正确打开方式。这样才方便背诵

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1. 前言

除了机器学习、深度学习。在这之前，还存在着一些传统算法，其中非常经典的牛顿法、二项插值、傅里叶、滤波算法等等。考察不多，但有必要了解。

2. 傅里叶变换

傅里叶公式内涵丰富，是很伟大的数学公式，我们这里篇幅有限，无法深刻剖析其内涵，读者请查阅资料自行学习。推荐参考文章：https://www.matongxue.com/madocs/473

3. 边缘检测算法

3.1 Sobe 算子

Sobe 算子是一种常用的边缘检测算子，用于计算图像中的水平和垂直方向的梯度，进而检测边缘。它基于离散的卷积操作，通过对图像进行卷积操作来计算梯度。

Sobel 算子有两个卷积核，一个用于计算水平方向的梯度，另一个用于计算垂直方向的梯度。这两个卷积核的形状为 3x3，分别如下：

水平方向的卷积核：

-1  0  1
-2  0  2
-1  0  1

垂直方向的卷积核：

-1 -2 -1
 0  0  0
 1  2  1

Sobel 算子的计算过程如下：

• 对原始图像进行灰度化处理，将彩色图像转换为灰度图像。
• 对灰度图像分别使用水平方向和垂直方向的 Sobel 卷积核进行卷积操作。
• 将水平方向和垂直方向的梯度计算结果进行合并，得到图像的边缘响应。

3.2 Canny 边缘检测

Canny 边缘检测是一种经典的边缘检测算法，它在图像中检测出具有明显强度变化的边缘，并以高质量的边缘定位和边缘细化而著称。Canny 边缘检测算法的步骤如下：

• 噪声抑制（Noise Reduction）：使用高斯滤波器对图像进行平滑处理，以降低噪声的影响。

• 计算梯度（Gradient Calculation）：通过应用 Sobel 等算子计算图像的梯度幅值和方向，得到每个像素点的梯度信息。

• 非极大值抑制（Non-maximum Suppression）：对梯度幅值图像进行非极大值抑制，去除非边缘像素，保留具有最大梯度幅值的像素点，以实现边缘细化。

• 双阈值检测（Double Thresholding）：根据预先设定的高阈值和低阈值对图像进行阈值分割，将像素点划分为强边缘、弱边缘和非边缘三个类别。

• 边缘连接（Edge Tracking by Hysteresis）：根据强边缘像素点的连接性质，将弱边缘中与强边缘连接的像素点也标记为强边缘，最终得到完整的边缘图像。

3.3 Laplace 算子

Laplace 算子，也称为拉普拉斯算子，是一种常用的二阶微分算子，用于图像处理中的边缘检测和特征提取。它可以检测图像中的灰度变化和边缘信息。

Laplace 算子在二维情况下的表达式为：

${\mathrm{\nabla }}^{2}f={\mathrm{\partial }}^{2}f\mathrm{/}\mathrm{\partial }{x}^2+{\mathrm{\partial }}^{2}f\mathrm{/}\mathrm{\partial }{y}^2\nabla ^2f\; =\; \partial ^2f/\partial x^2\; +\; \partial ^2f/\partial y^2$

其中，${\mathrm{\nabla }}^{2}f\nabla ^2f$ 表示 Laplace 算子应用于函数 $f(x,y)f(x,\; y)$ 后的结果，${\mathrm{\partial }}^{2}f\mathrm{/}\mathrm{\partial }{x}^2\partial ^2f/\partial x^2$ 表示函数 $f(x,y)f(x,\; y)$ 在 $xx$ 方向上的二阶偏导数，${\mathrm{\partial }}^{2}f\mathrm{/}\mathrm{\partial }{y}^2\partial ^2f/\partial y^2$ 表示函数$f(x,y)f(x,\; y)$ 在 $yy$ 方向上的二阶偏导数。

在离散化处理时，可以使用差分近似来计算 Laplace 算子的近似值。一种常用的离散 Laplace 算子是 3x3 的模板，如下所示：

0  1  0
1 -4  1
0  1  0

将该模板与图像进行卷积操作，可以得到图像中每个像素点的 Laplace 算子近似值。通过分析 Laplace 算子的结果，可以提取图像中的边缘信息。

4. 牛顿法

4.1 牛顿法

牛顿法（Newton's method）是一种用于求解方程或优化问题的迭代方法，它利用函数的一阶和二阶导数信息来逼近函数的零点或极小值点。

对于方程的求解问题，牛顿法的基本思想是通过不断迭代逼近函数的零点。假设要求解方程 $f(x)=0f(x)\; =\; 0$ 的根，初始时选择一个近似解 $x_{0}x\_0$，然后利用函数在 $x_{0}x\_0$ 处的一阶导数 $f^{\mathrm{\prime }}(x_0)f\text{'}(x\_0)$ 和二阶导数 $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_0)f\text{'}\text{'}(x\_0)$ 的信息来构造一个切线，将切线与 $xx$ 轴的交点作为新的近似解 $x_{1}x\_1$。重复这个过程，直到近似解收敛到方程的真实解。

具体来说，牛顿法的迭代公式为：

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\mathrm{\prime }}(x_n)}x\_\{n+1\}\; =\; x\_n\; -\; \backslash frac\{f(x\_n)\}\{f\text{'}(x\_n)\}$

其中，$x_{n}x\_n$ 表示第 $nn$ 次迭代的近似解，$f(x_n)f(x\_n)$ 表示函数在 $x_{n}x\_n$ 处的值，$f^{\mathrm{\prime }}(x_n)f\text{'}(x\_n)$ 表示函数在 $x_{n}x\_n$ 处的一阶导数。

牛顿法在优化问题中也有广泛应用。对于优化问题，我们希望找到使目标函数取得极小值的解。牛顿法可以通过迭代来逼近目标函数的极小值点。在优化问题中，牛顿法的迭代公式变为：

$x_{n+1}=x_n-[f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_n){]}^{-}1\ast f^{\mathrm{\prime }}(x_n)x\_\{n+1\}\; =\; x\_n\; -\; [f\text{'}\text{'}(x\_n)]^-1\; *\; f\text{'}(x\_n)$

其中，$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_n)f\text{'}\text{'}(x\_n)$ 表示函数在 $x_{n}x\_n$ 处的二阶导数，$[f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_n){]}^{-}1[f\text{'}\text{'}(x\_n)]^-1$ 表示其逆矩阵。

牛顿法具有快速收敛速度的优点，尤其在接近极小值点时更为明显。然而，牛顿法也存在一些限制，如需要计算函数的一阶和二阶导数，以及需要选择合适的初始点等。

4.2 拟牛顿法

拟牛顿法（Quasi-Newton method）是一种优化算法，用于求解无约束优化问题，它是对牛顿法的一种改进。与牛顿法相比，拟牛顿法的主要优点是不需要计算目标函数的二阶导数，从而减少了计算复杂度。

在拟牛顿法中，通过利用目标函数的一阶导数信息来逼近目标函数的二阶导数。具体来说，拟牛顿法通过构建一个近似的 Hessian 矩阵（二阶导数的估计）来代替牛顿法中的精确 Hessian 矩阵。这个近似的 Hessian 矩阵可以根据目标函数的一阶导数的变化情况进行更新。

拟牛顿法的基本思想是通过迭代过程逼近目标函数的最优解。在每一次迭代中，通过近似的 Hessian 矩阵来更新当前的解，并计算新的搜索方向。常见的拟牛顿法算法包括DFP（Davidon-Fletcher-Powell）算法和BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）算法等。

与牛顿法相比，拟牛顿法具有以下优点：

• 不需要计算目标函数的二阶导数，减少了计算复杂度。
• 可以自适应地调整 Hessian 矩阵的估计，适应不同的目标函数形状。
• 可以处理目标函数的非凸性问题，避免陷入局部最优解。

然而，拟牛顿法也有一些限制：

• 对于目标函数的高阶导数信息不准确时，近似的 Hessian 矩阵可能不精确，影响算法的收敛性和效率。
• 拟牛顿法对初始点的选择比较敏感，不同的初始点可能导致不同的收敛结果。

5. 插值算法

5.1 最近邻插值法（Nearest Neighbour Interpolation）

最近邻插值法是一种简单而直观的插值方法，用于在给定的数据点集合中找到距离待插值点最近的邻居点，并将其值作为待插值点的估计值。最近邻插值法假设邻居点的值对于待插值点的估计是最准确的。

最近邻插值法的步骤如下：

• 根据给定的数据点集合，确定待插值点的位置。

• 找到与待插值点最近的邻居点。通常使用欧氏距离或曼哈顿距离来衡量点之间的距离。

• 将邻居点的值作为待插值点的估计值。

最近邻插值法的优点是简单易实现，计算速度快。它适用于离散的数据点集合，对于非均匀分布的数据点也能够提供较好的估计结果。

5.2 双线性插值

双线性插值是一种常用的图像插值方法，用于在离散的图像网格中估计非网格点的像素值。其公式如下：

假设有一个二维图像，需要在坐标 $(x,y)(x,\; y)$ 处进行插值。首先找到坐标 $(x,y)(x,\; y)$ 所在的四个最近的网格点，分别记为 $P_1(x_1,y_1)P\_1(x\_1,\; y\_1)$、$P_2(x_2,y_1)P\_2(x\_2,\; y\_1)$、$P_3(x_1,y_2)P\_3(x\_1,\; y\_2)$、$P_4(x_2,y_2)P\_4(x\_2,\; y\_2)$。

双线性插值公式为：

$f(x,y)\approx (1-u)\ast (1-v)\ast f(P_1)+u\ast (1-v)\ast f(P_2)+(1-u)\ast v\ast f(P_3)+u\ast v\ast f(P_4)f(x,\; y)\; \approx \; (1\; -\; u)\; *\; (1\; -\; v)\; *\; f(P\_1)\; +\; u\; *\; (1\; -\; v)\; *\; f(P\_2)\; +\; (1\; -\; u)\; *\; v\; *\; f(P\_3)\; +\; u\; *\; v\; *\; f(P\_4)$

其中，$u=\frac{(x-x_1)}{(x_2-x_1)}u\; =\; \backslash frac\{(x\; -\; x\_1)\}\; \{(x\_2\; -\; x\_1)\}$ 为水平方向上的插值权重，$v=\frac{(y-y_1)}{(y_2-y_1)}v\; =\; \backslash frac\{(y\; -\; y\_1)\; \}\; \{(y\_2\; -\; y\_1)\}$ 为垂直方向上的插值权重。

双线性插值的思想是根据待插值点周围的四个邻居点，通过加权平均的方式计算插值点的像素值。权重根据离插值点的距离进行插值，距离越近的邻居点权重越大。

5.3 多项式插值

多项式插值是一种常用的插值方法，用于在给定一组离散数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来逼近这些数据点，并在数据点之间进行插值。

设给定 $n+1n+1$ 个数据点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},(x_n,y_n)(x\_0,\; y\_0),\; (x\_1,\; y\_1),\; ...,\; (x\_n,\; y\_n)$，其中 。多项式插值的目标是找到一个 $nn$ 次多项式 $P(x)P(x)$，使得 $P(x_i)=y_{i}P(x\_i)\; =\; y\_i$，即通过多项式 $P(x)P(x)$ 在数据点上与实际数据相等。

多项式插值的公式为：

$P(x)=a_0+$