题解 | 游游的字符重排 O(nlog²n) 做法（NTT优化组合计数DP）

虽然这题暴力即可，但这题一看就有组合DP做法，而且系数固定，显然可以用多项式科技优化，遂让AI写了一下此做法。

这是一个基于容斥原理结合生成函数的组合计数问题，使用NTT进行优化。

算法思路

1. 容斥原理转化：我们要计算没有相邻字符相等的排列数。直接计算比较困难，我们使用容斥原理。对于每种字符  ，假设它的出现次数为 。我们可以枚举该字符中有 对相邻字符是相等的（即“坏”连接）。如果选定了 对相邻相等，相当于将这 个字符分成了个“块”。
2. 生成函数构建：对于每种字符 ，设我们要分成  个块（即选了  个坏连接）。将  个物品分成  个有序非空块的方案数是插板法 。在最终的排列中，我们有总共  个块。这些块的排列方案数为 。但是，同一种字符的 个块在上述插板法中是有序的（第1块、第2块...），而在混合排列时，为了还原回原字符串的顺序，这 个块的相对顺序必须保持不变。因此，对于每种字符，我们需要除以 。综合起来，对于字符 ，如果分成 块，其对答案的贡献项（包含容斥系数 ）的生成函数项为：。
3. 注意：容斥系数是 。坏连接数 。我们可以将  提出来，或者直接在多项式项中包含 。 实际上，若令多项式项为 ，则最终结果需乘以 。因此，对于每种字符 ，构造多项式：
4. 多项式乘法：我们需要计算所有字符对应多项式的乘积 。由于字符集大小 是常数，我们可以使用分治法（类似归并排序或哈夫曼树的思路）两两合并多项式。
5. 计算答案：设 。最终答案为：

时间复杂度

• 设字符串长度为 。
• 构造所有多项式的时间为 。
• 多项式乘法：使用分治策略合并  个多项式。递归深度为 。每一层的多项式次数之和约为 ，NTT的时间复杂度为 。
• 因此，总时间复杂度为 。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 模数与原根
const int MOD = 998244353;
const int G = 3;

// 快速幂
long long power(long long base, long long exp) {
    long long res = 1;
    base %= MOD;
    while (exp > 0) {
        if (exp % 2 == 1) res = (res * base) % MOD;
        base = (base * base) % MOD;
        exp /= 2;
    }
    return res;
}

// 模逆元
long long modInverse(long long n) {
    return power(n, MOD - 2);
}

// NTT (快速数论变换)
void ntt(vector<long long>& a, bool invert) {
    int n = a.size();
    for (int i = 1, j = 0; i < n; i++) {
        int bit = n >> 1;
        for (; j & bit; bit >>= 1)
            j ^= bit;
        j ^= bit;
        if (i < j) swap(a[i], a[j]);
    }
    for (int len = 2; len <= n; len <<= 1) {
        long long wlen = power(G, (MOD - 1) / len);
        if (invert) wlen = modInverse(wlen);
        for (int i = 0; i < n; i += len) {
            long long w = 1;
            for (int j = 0; j < len / 2; j++) {
                long long u = a[i + j], v = (a[i + j + len / 2] * w) % MOD;
                a[i + j] = (u + v < MOD ? u + v : u + v - MOD);
                a[i + j + len / 2] = (u - v >= 0 ? u - v : u - v + MOD);
                w = (w * wlen) % MOD;
            }
        }
    }
    if (invert) {
        long long n_inv = modInverse(n);
        for (long long& x : a)
            x = (x * n_inv) % MOD;
    }
}

// 多项式乘法
vector<long long> multiply(const vector<long long>& a, const vector<long long>& b) {
    if (a.empty() || b.empty()) return {};
    int sz = a.size() + b.size() - 1;
    int n = 1;
    while (n < sz) n <<= 1;
    vector<long long> fa(a.begin(), a.end());
    vector<long long> fb(b.begin(), b.end());
    fa.resize(n);
    fb.resize(n);
    ntt(fa, false);
    ntt(fb, false);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        fa[i] = (fa[i] * fb[i]) % MOD;
    ntt(fa, true);
    fa.resize(sz);
    return fa;
}

// 组合数预处理
vector<long long> fact, invFact;
void prepareCombinatorics(int n) {
    fact.resize(n + 1);
    invFact.resize(n + 1);
    fact[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) fact[i] = (fact[i - 1] * i) % MOD;
    invFact[n] = modInverse(fact[n]);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) invFact[i] = (invFact[i + 1] * (i + 1)) % MOD;
}

long long nCr(int n, int r) {
    if (r < 0 || r > n) return 0;
    return fact[n] * invFact[r] % MOD * invFact[n - r] % MOD;
}

// 分治合并多项式
// 时间复杂度: O(N log N log 26)，其中 N 为字符串长度
vector<long long> solve(int l, int r, const vector<vector<long long>>& polys) {
    if (l == r) return polys[l];
    int mid = (l + r) / 2;
    return multiply(solve(l, mid, polys), solve(mid + 1, r, polys));
}

int main() {
    // 优化输入输出
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);

    string s;
    if (!(cin >> s)) return 0;
    int n = s.length();
    if (n == 0) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }

    // 统计字符频率
    int counts[26] = {0};
    for (char c : s) counts[c - 'a']++;

    prepareCombinatorics(n);

    vector<vector<long long>> polys;
    for (int i = 0; i < 26; i++) {
        if (counts[i] == 0) continue;
        int c = counts[i];
        // 构造多项式 A_i(x)
        // A_i(x) = sum_{j=1}^{c} (-1)^j / j! * C(c-1, j-1) * x^j
        // 大小为 c+1，下标从 0 到 c
        vector<long long> poly(c + 1, 0);
        for (int j = 1; j <= c; j++) {
            long long term = invFact[j]; // 1/j!
            term = (term * nCr(c - 1, j - 1)) % MOD;
            if (j % 2 == 1) { 
                // (-1)^j
                term = (MOD - term) % MOD;
            }
            poly[j] = term;
        }
        polys.push_back(poly);
    }

    if (polys.empty()) {
        cout << 0 << endl;
        return 0;
    }

    // 分治乘法合并所有多项式
    vector<long long> P = solve(0, polys.size() - 1, polys);

    // 计算最终答案
    // Ans = (-1)^n * sum_{k=0}^n k! * coeff[k]
    long long ans = 0;
    for (int k = 0; k < P.size(); k++) {
        if (P[k] == 0) continue;
        long long term = (P[k] * fact[k]) % MOD;
        ans = (ans + term) % MOD;
    }

    // 乘以 (-1)^n
    if (n % 2 == 1) {
        ans = (MOD - ans) % MOD;
    }

    cout << ans << endl;

    return 0;
}