codeforces-839D(莫比乌斯反演)

$Description$
图片说明

$Solution$
设 $f(d)=\sum k[gcd(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_k})=d]$ ，则答案可以表示为 $\sum_{d=2}^{N}d\cdot f(d)$
设 $F(d)=\sum k[d|a_{i_1},d|a_{i_2},...,d|a_{i_k}]$ ，设 $d$ 的倍数个数为 $cnt$ ,则 $F(d)=\sum_{i=1}^{cnt}i\cdot \binom{cnt}{i}=cnt\cdot 2^{cnt-1}$ 。
所以有 $F(d)=\sum_{d|n}f(n)$ ，反演得 $f(d)=\sum_{d|n}F(n)\cdot \mu(\frac{n}{d})$ 。

$Code$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+6;
const int p=1e9+7;
typedef long long ll;
ll ksm(ll a,ll b){ll ans=1;for(;b>0;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;return ans;}
short int mu[N];
int flag[N],F[N],f[N];
int n;
void pre(){
    mu[1]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    for(int j=i+i;j<N;j+=i)mu[j]-=mu[i];
}
int main(){
    pre();
    cin>>n;
    for(int i=1,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),flag[x]++;
    ll ans=0;
    for(int d=1;d<N;d++){
        int cnt=0;
        for(int j=d;j<N;j+=d){
            if(flag[j])cnt+=flag[j];
        }
        F[d]=1LL*cnt*ksm(2,cnt-1)%p;
    }
    for(int i=1;i<N;i++){
        for(int j=i;j<N;j+=i){
            f[i]+=F[j]*mu[j/i];
            if(f[i]<0)f[i]+=p;
            if(f[i]>=p)f[i]-=p;
        }
    }
    for(int d=2;d<N;d++){
        ans+=1LL*d*f[d]%p;
        ans%=p;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}